Kabuk Yöntemi İle Soru Çözümü

Question

$y = 4 - x^2$   fonksiyonunun koordinat sisteminde  $1.$ ve $2.$ bölgede kalan alanın $x-$ ekseni etrafında döndürülmesi sonucu oluşan hacim nedir? Kabuk yöntemini kullanınız.

Comments

Uyarıyı dikkate aldıgınız için teşekkürler. 

Bu tarz basit yazımlar için başına ve sonuna dolar koydugunuz an latex ile yazılır ve daha kalın ve güzel bir görünüşe sahip olur.

http://matkafasi.com/78008/boxed-%24yeni-gelenler-basit-latex-yazim-rehberi%24-boxed-star?show=78008#q78008


bu latex rehberine lutfen bakınız,soru hakkında ise assonra bılgılendırme yazayım.(kabuk yontemı)

Answer 1

Şekilde fonksıyon ve mavı cızdıgım şerıtler var  bu şerıtler x eksenı etrafında dönücek ve bir hacım oluşturcak bu şeritlerin bir fonksiyonunu bulsak ,y=0 dan y=2 ye kadar tüm şeritlerin oluşturdugu kabukları toplasak hacmi buluruz (gerçi burada standart ıntegral hesabı daha kolay ama taktıgı cozmek ıçın guzel ornek)

Bu şeritleri sadece 1. bölgede hesaplasak bulacagımız toplam hacmı 2 ıle carpsak istenılen hacmı buluruz bunu nıye yapıyorum? Çünki şeritlerin uzunlugunu her    $y=y_0$  noktasında hesaplamam lazım genişliğini hesaplamayacagız cünki genişlik 0 a gidecek "riemann toplamlarını hatırlayınız"

şimdik,  $y=4-x^2$  fonksiyonunu  $x$  yalnız bırakılarak bulalım, $x=\pm \sqrt{4-y}$ olur

yeni şeklimiz bu oluyor , taktik neydi?  $y=y_0$ daki çevreyi hesapla çevre ile şeridin uzunlugunu carp kabugu bul ve ıntegral sınırlarını şeridin baglı oldugu değişkene yanı $y$ 'ye göre al o zaman integral hesabı;

Çevre: $2\pi y$

$y$'lerdeki boy $\sqrt{4-y}$

O zaman;

Tüm hacmin yarısı: $\displaystyle\int_0^4 2\pi y\sqrt{4-y}dy$

Tüm hacim:$\boxed{\boxed{4\pi\displaystyle\int_0^4y\sqrt{4-y}dy}}$