Taralı alanı bulunuz

Question

Kare içinde çeyrek daireler var. Taralı alan kaçtır?

Answer 1

Karenin kenarına $a$ diyelim.

Şeklin alanı=(kenarı $b$ olan kırmızı) karenin alanı+$4\times$ (daire kesmesinin alanı) olur.

Yukarıdaki şekilde $ABG$ ve $AFD$ eşkenar üçgen oldukları için $\angle FAG=30^\circ$ olur.

Daire kesmesinin (çember ile kiriş arasındaki küçük bölge) alanı=$\dfrac{\pi a^2}{12}-\, AFG$ üçgenin alanı.

$AFG$ üçgeninin alanı=${1\over 2}a^2\sin 30^\circ=\dfrac{a^2}4$ olur.

Daire kesmesinin toplam alanı=$\dfrac{\pi a^2}{12}-\dfrac{a^2}4=\dfrac{a^2(\pi-3)}{12}$ olur.

Kosinüs Teoreminden $b^2=a^2+a^2-2\,a\cdot a\cdot\cos 30^\circ=a^2(2-\sqrt3)$ olur.

Şeklin alanı$=4\;\dfrac{a^2(\pi-3)}{12}+a^2(2-\sqrt3)=a^2\left(\dfrac\pi3-\sqrt3+1\right)$ bulunur.

Answer 2

Bir de (daha kısa olduğu için) Lisans düzeyi çözüm yapalım:

Şekildeki (bir kenarı çember yayı olan) $EFG$ "üçgen" inin alanını (kutupsal koordinatlarda) integral ile bulacağız.

Alanın bulunması istenen şekil, bunun bunun gibi $8$ "üçgen" den oluşuyor.

$A$ köşesi kutup, $\vec{AB}$ yarı doğrusu kutup ekseni olarak alınırsa,

çemberin denklemi $r=a$, $EG$ doğrusunun denklemi $r=\dfrac a2\sec\theta$ olur.

Alanını bulmak istediğimiz "üçgen": ${\frac\pi4}\leq \theta\leq{\frac\pi3},\quad \frac a2\sec\theta\leq r\leq a$ şeklindedir.

(ve, bu aralıkta, $a\geq\frac a2\sec\theta\geq0$ olup, $a$ (sabit) ve $\frac a2\sec\theta$ fonksiyonları süreklidir)

Şekildeki "üçgen"in alanı$=\displaystyle\frac12\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}(a^2-\frac{a^2}4\sec^2\theta)\,d\theta=\frac{a^2}8\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}(4-\sec^2\theta)\,d\theta $ olur.

(Sorudaki) şeklin alanı

$\textrm{Alan}=\displaystyle a^2\left.\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}(4-\sec^2\theta)\,d\theta=a^2 \left(4\theta-\tan\theta\right)\right|_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}=a^2\left(\dfrac\pi3-\sqrt3+1\right)$ bulunur.

Comments

Yine Lisans düzeyinde,

$EFG$ "üçgen"inin alanı, dik koordinatlarda:

\[\int_{a\over2}^{a\over\sqrt2}\left(\sqrt{a^2-x^2}-x\right)\,dx\] integrali hesaplanarak bulunabilir.

\[\int_{a\over2}^{a\over\sqrt2}\left(\sqrt{a^2-x^2}-x\right)\,dx\stackrel{x=a\sin\theta}=\int_{\pi\over6}^{\pi\over4}a^2\left(\cos^2\theta-\cos\theta\right)\,d\theta\\=a^2\int_{\pi\over6}^{\pi\over4}\left(\dfrac{1+\cos(2\theta)}2-\cos\theta\right)\,d\theta=\cdots\]

Answer 3

Ortaöğretim düzeyinde başka (belki daha basit) bir çözüm:

(Önceki çözümün başlangıcındaki bazı basit şeyleri tekrarlamayacağım) $EF$ ve $EG$ kenarlara paralel olsun.

Şekildeki $EFG$ "üçgen"inin alanını bulup, $4$ ile çarpacağız.

$A(EFG)=A(AFG)-(A(AEF)+A(AEG))\\=A(AFG)-2\cdot A(AEG)\\=\dfrac{\pi a^2}{12}-2\cdot A(AEG)$

$|EG|=\dfrac{a\sqrt3}2-\dfrac a2=\dfrac{a(\sqrt3-1)}2$,

$AEG$ üçgeninde $EG$ kenarına ait yükseklik $h=\dfrac a2$

$A(AEG)=\frac12\dfrac{a(\sqrt3-1)}2\cdot\frac a2=\dfrac{a^2(\sqrt3-1)}8$

$\textrm{Aranan Alan}=4\,\left(\dfrac{\pi a^2}{12}-2\cdot\dfrac{a^2(\sqrt3-1)}8\right)=a^2\left(\dfrac\pi3-\sqrt3+1\right)$