Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
32.1k kez görüntülendi


Orta Öğretim Matematik kategorisinde (15 puan) tarafından  | 32.1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

 sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir. baş katsayısı bir olarak indirgenemeyen polinomlar asal polinomlar denir.

(1.5k puan) tarafından 

Baş katsayısı 1 olmak zorunda değildir. Nerde çalışıldığı da önemli, soruda ya da cevapta belirtilmeli.

Soruda 4x^2 +2 yi asal polinom kabul etmis.Soru yanlis o halde.

Ne üzerinde olduğu hala ifade edilmemiş.. Reel sayılar üzerinde verdiğiniz örnek asal polinom olur.

Genel tanim bu degil. Zira indirgenemez elemanla asal eleman birbirlerinde farkli kavramlardir. Bazen ortusebilirler elbette.

Soru yanlis degeildir. Katsayi halkasi rasyonel sayilardir. Asal polinom da polinom halkasinda asal demek. Yani, eger $p$ polinomu $f.g$ carpimini bolmesi $f$'yi ya da $g$'yi bolmesini gerektiriyorsa, $p$'ye asal polinom denir. Baska bir deyisle, bolmedigi iki seyin carpimini da bolmeyen seylere asal denir. 

Hocam yorumlardan asal polinom nedir ne değildir pek anlayamadım.Bir örnek üzerinden tam olarak tanımı vermeniz mümkün mü?

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu bağlantıda verilen tanıma göre,

$F$  bir cisim olmak üzere, $F[x]$ in sıfırdan ve aritmetik birimlerden farklı bir  $p(x)$ polinomunun , $p = a(x)b(x)$ ; $a(x),b(x)\in F[x]$ gibi her yazılışında, $a(x)$ ve $b(x)$ den en az biri bir aritmetik birim (yani, $\deg(a(x))$ ve $\deg(b(x))$ den en az biri $0$ , yada başka bir değişle, $a(x)$ ve $b(x)$ den en az biri $F^*$  ın bir elemanı) ise, $p(x)$ e bir asal (indirgenemez) polinom denir. (Yani indirgenemez polinom ve asal polinom aynı anlamda kullanılmıştır.) Bu tanıma göre, $4x^2 + 2$ indirgenemez polinomdur, eş anlamlı olarak asal polinomdur.

 

Bir kitapta şöyle bir tanım okuduğumu hatırlıyorum:  $F$  bir cisim olmak üzere, $F[x]$ de başkatsayısı $1_F$ (birim eleman) olan indirgenemez polinoma asal polinom denir. Bu tanıma göre, $4x^2 + 2 \in \mathbb R [x]$ indirgenemez polinom olduğu halde asal polinom değildir. Yine bu tanıma göre, $x^2 + 2 \in \mathbb R [x]$ baş katsayısı $1$ ve indirgenemez olduğu için asal polinomdur. Bu türdeki tanıma bir kaynak olarak burada sayfa 62'ye bakılabilir. 

 

Ayrıca wikipedia sitesinde indirgenemez polinom (irreducible polynomial) isimli bir başlık var ama asal polinom (prime polynomial) diye bir başlık yok. Şöyle diyor: $F$ bir cisim olmak üzere, katsayıları $F$'ye ait olan ve sabit olmayan bir polinom, $F$'de katsayıları olan sabit olmayan iki polinomun çarpımı şeklinde yazılamıyorsa bu polinoma $F$ üzerinde indirgenemez polinom denir. Ayrıca polinomun halkası, bir cisim veya tek türlü çarpanlara ayrılabilir bölge (unique factorization domain) ise indirgenemez polinoma asal polinom da denir. Bu tanıma göre, indirgenemez polinom ile asal polinomum tamamen aynı şey olduğu cebirsel yapılar olduğu gibi bunların arasında ayrım gözetilen cebirsel yapılar da var, şeklinde anlıyorum. Ama o ayrım gözetilen cebirsel yapılar nelerdir? İndirgenemez polinom olup, asal polinom olmayan örnekler veya indirgenemez polinom olmayıp, asal polinom olan örnekler (varsa) nelerdir? Bunları bilmiyorum, wikipedia yazarı da asal polinom tanımını açıkça vermemiş. Muhtemelen kastedilen şey şudur: Eğer polinomumuz katsayılarını, bir cisim veya tek türlü çarpanlara ayrılabilir bölgeden alıyor ise bu durumda indirgenemez polinoma asal polinom ismini verebiliriz. Çünkü, bu polinom bir asal ideal üretiyor diye belirtilmiş. O zaman wikipedia yazarı, polinomun başkatsayısının $1$ olması ile ilgilenmiyor gibi. Fakat örnekler verirken hep başkatsayısı $1$ olan örnekler yazmış:

\begin{align}
  p_5(x) &= x^2 - 2\, = \left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)\\
  p_6(x) &= x^2 + 1\, = {(x - i)(x + i)}
\end{align}

Burada $p_5$, $\mathbb Z[x]$ halkasında indirgenemez iken  $\mathbb R[x]$ de indirgenebilirdir ve $p_6$, $\mathbb R[x]$ halkasında indirgenemez iken  $\mathbb C[x]$ de indirgenebilirdir. 

 

Asal polinomun tanımı ile ilgili matematikçiler arasında bir anlaşmazlık var gibi görünüyor. Konu hakkında kitap okumuş, bilgi sahibi olan arkadaşlarımız bilgilerini paylaşırsa sevinirim.

 

(2.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,247 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,138,600 kullanıcı