Sikloidin yay uzunluğu.

Question

SORU:1

Şekilde gösterilen sikloidin $x=0\to 2\pi.a$        arası yay uzunluğunu bulunuz.

Sikloid Tanım: Sikloid, bir çemberi $x-$ekseni gibi bir doğru boyunca yuvarlerken çevresi üzerindeki bir noktanın takip ettiği eğri veya yoldur.

SORU:2

Sorunun çözümü için kullanılıcak olan $0\le \theta\le 2\pi$   değişkeninin,


$x=a(\theta-sin\theta)$

$y=a(\theta-cos\theta)$

olarak nasıl türetildiğini gösteriniz.

Sikloidler hakkında geniş bilgi:https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid

Comments

Anıl sanıyorum $y=a(1-cos\theta)$ olmalı.

Answer 1

Soru2'nin cevabı:

Önce sikloidin parametrik denklemini bulmaya çalışalım. Benim çizim yeteneğim sıfıra çok yakın tıpkı epsilon gibi, ama sıfır değil:))  Bu sebeple sizlerin hayal gücüne sığınarak,kağıda yaptığım çözümü sizler anlatmaya çalışacağım.

$\theta$ dönme açısının ölçüsü, $a$ çemberimizin yarıçap uzunluğu, çemberimizin merkezi $M$,              $\theta=0$ iken orijine teğet olan çemberin hareketli noktası $P(x,y)$ ve herhangi bir anda çemberin $\vec{ox}$ eksenine teğet olan noktası $Q$ olsun.

Şimdi $[PB]\bot \vec{ox}$ ve  $[MA]\bot [PB]$ çizelim.Ayrıca $[MQ]\bot\vec{ox}$ olduğundan $[PB]//[MQ]$ dir. Burada $m(PMQ)=\theta$ ise $m(MPA)=\pi-\theta$ olacaktır.$PAM$ dik üçgeninde; 

$sin(\pi-\theta)=\frac{|AM|}{a}=\frac{|BQ|}{a}=sin\theta\Rightarrow |BQ|=a.sin\theta......(1)$ olur. benzer olarak aynı üçgende $cos(\pi-\theta)=\frac{|PA|}{a}=-cos\theta\Rightarrow |PA|=-a.cos\theta.....(2)$ olur.

Öte yandan çemberin kaymadan döndüğünü varsayarsak, pozitif yönlü $PQ$ çember yayının uzunluğu $a\theta$ kadar olup $PQ$ yayının boyu ile $|OQ|$ uzunlukları eşittir. Yani $|OQ|=a\theta$ dır.

$x=|OB|=|OQ|-|BQ|=a\theta-asin\theta=a(\theta-sin\theta)$,

$y=|PB|=|PA|+|AB|=-acos\theta+a=a(1-cos\theta)$ olur. 

Soru1'in cevabı: 

$\frac{dy}{d\theta}=asin\theta$     ve     $\frac{dx}{d\theta}=a-acos\theta$ paramtrik denklemler için yay uzunluğu formülünden ;

$\int_0^{2\pi a}\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2}d\theta=\int_0^{2\pi a}\sqrt{a^2.sin^2\theta+a^2-2a^2cos\theta+a^2cos^2\theta}d\theta$

$=a\sqrt2\int_0^{2\pi a}\sqrt{1-cos\theta}d\theta=2a\int_0^{2\pi a}sin(\frac{\theta}{2})d\theta=2a(-2cos\frac{\theta}{2}\bigg|_0^{2\pi.a}=4a(1-cos\pi a)$ olmalıdır.