Question

$y=\ln(\sin x)$ eğrisinin $\frac{\pi}{3}\leq x\leq \frac{\pi}{2}$ aralığındaki yay uzunluğu nasıl bulunur?

Comments

Siz neler düşündünüz/denediniz?

---

Türevlenebilir $y=f(x)$ fonksiyonunun $[a,b]$ aralığındaki yay uzunluğunu veren

$$\ell = \int_a^b \sqrt{1+(y')^2}dx$$

formülünü biliyor musunuz?

---

"Türevlenebilir" ve türevi sürekli " $y=f(x)$ fonksiyonunun"

---

Haklısınız Doğan hocam, yay uzunluğu teoremi $y=f(x)$ fonksiyonununun $[a,b]$ aralığında türevi sürekli iken ifade ediliyor. Aklıma başka bir şey takıldı, $x=0$ da türevi olup bu noktada türevi sürekli olmayan

$$f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x) , & x\neq 0  {\text{  ise}} \\0 , &x=0 {\text{  ise}}\end{cases}}$$

fonksiyonu için $[0,2]$ aralığında yay uzunluğunu programa hesaplatayım dedim. Önce yaklaşık olarak $[0.01, 2]$ aralığı için yay uzunluğu hakkında fikir vermesi bakımından

$$\int_{0.01}^2 \sqrt{1 + (\cos(1/x) - 2 x \sin(1/x))^2} dx≈2.92644$$

olduğunu hesaplıyorum. Sonra

$$\lim_{c\to{0^+}} \left(\int_c^2 \sqrt{1 + (\cos(1/x) - 2 x \sin(1/x))^2} dx \right)$$

limitini inceliyorum. Pozitif değerli bu integral (aynı zamanda bir alan belirtir ve) üstten bir sınırı vardır ve $c$'yi sağdan $0$'a yaklaştırdıkça integralin (alanın) değeri artmaktadır. Dolayısıyla bu limit vardır. Burada da taralı alan olarak açıkça resmedilmiştir. Bu bize $f$ nin $[0,2]$ aralığındaki yay uzunluğunun da sonlu bir değer olduğunu gösteriyor.

Bu $f$ fonksiyonu özelinde; türevin sürekliliği şartı kaldırılsa ve sadece türevlenebilir olması şartı aransa, yay uzunluğu teoremi doğru kalmaktadır. Acaba her zaman $f$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında türevlenebilir iken ($f'$ aynı aralıkta süreksiz olabilir) yine yay uzunluğu $$\ell = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} dx$$ integrali ile verilebilir mi? Yoksa ters bir örnek var mıdır? (Duruma göre, bu sorumla ilgili başka bir sayfaya yeni konu başlığı da açabilirim.)

---

$\int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} dx$ integrali var olmayabilir ($\sqrt{1+(y')^2}$ integrallenemeyebilir).

Ama bu örnekteki fonksiyonun türevi "o kadar kötü" değil.

(Yay uzunluğunu, kirişlerin uzunlukları toplamının en küçük üst sınır olarak tanımladıktan sonra, türevi sürekli fonksiyonlar için) Bu formülün ispatında, aralığın iç noktalarında türevin sürekli olmasının yeterli olacağı görülüyor.

(Esas olarak Ortalama Değer Teoreminin ispatına benziyor, orada uçlarda türev gerekmiyor. )