Haklısınız Doğan hocam, yay uzunluğu teoremi $y=f(x)$ fonksiyonununun $[a,b]$ aralığında türevi sürekli iken ifade ediliyor. Aklıma başka bir şey takıldı, $x=0$ da türevi olup bu noktada türevi sürekli olmayan
$$ f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x) , & x\neq 0 {\text{ ise}} \\0 , &x=0 {\text{ ise}}\end{cases}} $$
fonksiyonu için $[0,2]$ aralığında yay uzunluğunu programa hesaplatayım dedim. Önce yaklaşık olarak $[0.01, 2]$ aralığı için yay uzunluğu hakkında fikir vermesi bakımından
$$ \int_{0.01}^2 \sqrt{1 + (\cos(1/x) - 2 x \sin(1/x))^2} dx≈2.92644 $$
olduğunu hesaplıyorum. Sonra
$$\lim_{c\to{0^+}} \left(\int_c^2 \sqrt{1 + (\cos(1/x) - 2 x \sin(1/x))^2} dx \right) $$
limitini inceliyorum. Pozitif değerli bu integral (aynı zamanda bir alan belirtir ve) üstten bir sınırı vardır ve $c$'yi sağdan $0$'a yaklaştırdıkça integralin (alanın) değeri artmaktadır. Dolayısıyla bu limit vardır. Burada da taralı alan olarak açıkça resmedilmiştir. Bu bize $f$ nin $[0,2]$ aralığındaki yay uzunluğunun da sonlu bir değer olduğunu gösteriyor.
Bu $f$ fonksiyonu özelinde; türevin sürekliliği şartı kaldırılsa ve sadece türevlenebilir olması şartı aransa, yay uzunluğu teoremi doğru kalmaktadır. Acaba her zaman $f$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında türevlenebilir iken ($f'$ aynı aralıkta süreksiz olabilir) yine yay uzunluğu $$ \ell = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} dx $$ integrali ile verilebilir mi? Yoksa ters bir örnek var mıdır? (Duruma göre, bu sorumla ilgili başka bir sayfaya yeni konu başlığı da açabilirim.)