Bir Modül Sorusu

Question

Bildiğimiz gibi eğer $k$ bir cisim ise, $k$ üzerine vektör uzaylarını rahatlıkla sınıflandırabiliyoruz: bir bazının kardinalitesine göre. Örneğin, sonlu durumda $k^m \cong k^n$ ancak ve ancak $m = n$ ise.

 Öyle bir $R$ halkası bulabilir misiniz ki $R \oplus R \cong R$ olsun ($R$-modül olarak)? 

 Reklamlar

 https://matematikkoyu.org/eng/events/2015-lpa/ 

 Reklamlar

Comments

Sonsuz bir indis kümesi üzerinde aynı vektör uzayının direkt toplamını almak yeterli olmuyor mu?

---

$R$ olarak sonsuz bir indis kümesi üzerinde vektör uzayını mı alıyorsun? Ben, $R$'nin halka olmasını istiyorum.

---

Ciddi ciddi cevap yazacaktım baktım "Yazın konferansa gelin işin aslını Gene Abrams'dan öğrenin diyorsun". Ben internette daha kolay anlatılan bir örnek buldum. Satır ve sütunları doğal sayılar ile indekslenmiş matrisleri aliyorsun (mesela girdileri tam sayılar olan). R bu şekildeki matrislerin sütunlarında sonlu sayıda sıfırdan farklı sayı olan matrislerin kümesi olsun. Bu küme matris toplaması ve çarpması altında halka oluyor. $R$'nin $R^2$'ye izomorfik olduğunu görmek için her matrisi tek ve çift sütunlarından oluşan matrislere götürmek yeterli. Detaylı cevap şurada:

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Invariant_basis_number

Yazın köydeki toplantıya çok iyi isimler geliyor. Gidebilenler gitsin bence de. 

---

Benim aklimdaki ornek de aynen buydu. Burak'in soyledigi gibi dogal sayilarla indekslenmis bir vektor uzayi alip, onun endomorfizma halkasina bakmak. Bu durumda herhangi bir yerde sonlu sayida sifirdan farkli olma sarti aranmiyor sanirim. Cool degil mi? Ben cok seviyorum bu ornegi.

---

Özgür benim verdiğim matris halkası örneği ile doğal sayılarla endekslenmiş sonsuz boyutlu vektör uzayının endomorfizma halkası aynı şeyler (halka olarak izomorfikler). Matrislerin sütunlarında sonlu sayıda sıfırdan farklı sayı olması zaten her vektörün sonlu sayıda sıfırdan farklı koordinatı olmasından geliyor. Yani endomorfizma $f$ ise be $f(e_i)=\sum_j a_j e_j$ ise sadece sonlu sayıda $a_j$ sıfırdan farklı oluyor. Bu özellik matris çarpmasının tanımlı olması için de gerekli. 

---

Evet, tabii! Sonlu sayida sifirdan farkli olma sarti direkt toplamdan dolayi var. Pardon.

---

Burak endomorfizmadan ziyade sunu demek istemis galiba. $R$'yi $$\oplus_{i\in I}S$$al. $S$ rastgele bir halka, $I$ sonlu olmayan herhangi bir kume.

---

Evet, endomorfizma halkasını kastetmemiştim. Tabii daha sonra söylediğim şeyin işe yaramadığını fark edince, arkasından bir yorum geldiği için, silme gereği duymadım. Yani o direkt toplam $S$-modül olarak kendisiyle direkt toplamına eşyapısal (koordinatları $I$ ile eşlenebilen iki parçaya ayırıp dağıtabiliriz) ama halkanın kendisi üzerinde bir modül olarak değil sanırım.

---

Ama boyle olunca neden yaramiyor? Bu halkanin kendisiyle direk toplami kendisine izomorf.

---

Kendisiyle direkt toplamı bir halka olarak izomorf zaten. Öte yandan, koordinatları "ikiye bölen" f fonksiyonu lineer olmak zorunda değil. Zira $f((s_0,s_1,...) \cdot (s_0',s_1',...))=f((s_0 s_0',s_1 s_1'...))$=$((s_0 s_0', s_2 s_2',...),(s_1 s_1', s_3 s_3',...)) $ olduğu halde $(s_0,s_1, ...) \cdot f((s_0',s_1',...))$=$((s_0 s_0' ,s_1 s_2',...),(s_0 s_1', s_1 s_3',...))$ oluyor. Yani $f(r \cdot x)=r f(x)$ yerine $f(r \cdot x)= f(r) \cdot f(x)$ elde ediyoruz.

---

Haaaa, modul olarak. Gerci sen ornegi vermesen ilk basta, e bunlar modul olarak da izomorturlar derdim.

---

Tabii bir de halka derken birim eleman isteyip istemediğimiz de önemli. Çarpım halkasında birim eleman istiyorsak, yani $(1,1,1,...)$'i, direkt toplam değil de direkt çarpım almamız lazım. Ama onda da aynı problem var zaten :).

---

tabi canim, direk toplamda birim yok. tek derdimiz birim olsun canim. bu arada sabah uyanip yirmi tane yorum var mesaji alacaklar da kusura bakmasin lutfen.