Riemann-Stieltjes

Question

$0 \le x < 1$ ise $\alpha (x) = x$ 

$1 \le x \le 2$ ise $\alpha (x) = x + 1$ ve $f(x) = x^2$ veriliyor.

$a)$  $U(P,f,\alpha)$ ve $L(P,f,\alpha)$ Riemann-Stieltjes toplamlarini $P = \{0, \frac{1}{2},\frac{3}{4}, 1, \frac{3}{2},2\}$ icin hesaplayin.

$b)$ Riemann-Stieltjes integralini hesaplayin $\int\limits_0^2 {fd\alpha }  = ?$

Comments

$$P=\{0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{4},\frac{3}{2}\}$$ olduğuna emin misiniz? $$P=\{0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},1,\frac{3}{2},2\}$$  olmasın sakın.

---

dediginiz gibi olmali, tesekkurler

Answer 1

Riemann-Stieltjes Integrals.pdf (0,1 MB) b) Önce şu teoremi verelim.

Teorem: Eğer $f$ fonksiyonu $[a,b]$ üzerinde Riemann-Stieltjes integrallenebilir ve $\alpha$ foksiyonu $[a,b]$ üzerinde sürekli türeve sahip ise o zaman $$\int_{a}^{b} f(x)α'(x)dx$$ Riemann integrali mevcuttur ve $$\int_{a}^{b} f(x)dα(x)=\int_{a}^{b} f(x)α'(x)dx$$  

O halde $$\int_{0}^{2} f(x)dα(x)=\int_{0}^{1} f(x)dα(x) + \int_{1}^{2} f(x)dα(x)$$  

$$\int_{0}^{2} f(x)dα(x)=\int_{0}^{1} x^2(x)'dx + \int_{1}^{2} x^2(x+1)'dx$$  

$$\int_{0}^{2} f(x)dα(x)=\int_{0}^{1} x^2dx + \int_{1}^{2} x^2dx=\int_{0}^{2} x^2dx=\frac{8}{3}$$ bulunur.

Download the PDF: Riemann-Stieltjes Integrals.pdf

Comments

Burdan da anlasiliyor ki soru lisans sorusu..

---

:-) :-) :-) :-)  Katılıyorum. Şunu da sormadan geçemeyeceğim. Lisansta bu konu anlatılıyor mu?

---

Burda (usa) anlatiliyor :) Reel analiz dersinde. Ancak bu ders 500 kodlu bir ders. Yuksek lisans ogrencilerinin aldigi lisans tan da belli ogrencilerin alabildigi bir ders.

---

Ben lisans eğitimimi sokakta aldım (şaka ya da dalga değil) fakat böyle bir soruyu 1.sınıflara verilen analiz dersinde görmüştüm galiba.

Ki türevini al, içeri at mantığı analize girişte gösterilmiyor mu? Bunu cidden soruyorum.

---

Stieltjes integrali riemann integralinin bir genellestirmesi ve riemann integralinin kurulumunu anlayan herkes bunun kurulumunu da hemencik anlayabilir.

---

Sayin hocam sanirim burada birseyi ihmal etmissiniz. $\alpha(x)$ fonksiyonu iki farkli aralik icin $x$ ve $x+1$ seklinde ifade edilmis. Bu durum da buradaki $jump$ i atlamamak lazim. Yani $1^2.1 = 1$ bu degere ilave edilmeli. Tesekkurler.