noktasal limit ve duzgun yakinsaklik

Question

${f_n}(x) = \frac{1}{{{{(1 + x)}^n}}},\,\,\,x \in [0,1]$ olmak uzere

$a)$ $f_n(x)$ dizisinin $f(x)$ noktasal limiti nedir?

$b)$ $(f_n)$ duzgun yakinsak midir, gosterin?

Answer 1

$f_{n}\left( x\right) =\frac{1}{\left( 1+x\right) ^{n}}$ dizisi $\left( 0,1\right) $ aralığında "sıfır fonksiyonuna" noktasal yakınsak olup düzgün yakınsak değildir (Limiti sürekli olmasına rağmen!).

Noktasal yakınsaklık barizdir.

Düzgün yakınsak olması için $f\left( x\right) =0$ olmak üzere,

$\lim_{n\rightarrow \infty }\sup_{\left( 0,1\right) }\left\vert f_{n}\left(x\right) -f\left( x\right) \right\vert=\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{\left( 0,1\right) }\frac{1}{\left( 1+x\right) ^{n}}=0$ 

sağlanmalıdır. Oysa,

$\sup_{\left( 0,1\right) }\frac{1}{\left( 1+x\right) ^{n}}\geq \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}}\geq \frac{1}{ e}$ 

olduğundan, sol tarafın limiti sıfır değildir.

Answer 2

a) $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} f_n(x)=f(x)=1, x=0 \text{ ise}; 0, \,\ x\in (0,1] \,\ \text{ise}$

b) $f$ fonksiyonu sürekli olmadığı için söz konusu fonksiyon dizisi düzgün yakınsak değildir.

Comments

yani $f_n$ in duzgun yakinsak olmadigini $f$ nin surekli olmadigindan mi anliyoruz?

---

Her bir terimi sürekli olan bir fonksiyon dizisi düzgün yakınsak ise yakınsadığı nokta (fonksiyon) süreklidir. Bu bir teorem. Ortalama bir analiz kitabında bulabilirsiniz. O zaman buna denk olarak şunu söyleyebiliriz: Fonksiyon dizisinin yakınsadığı fonksiyon sürekli değil ise fonksiyon dizisi düzgün sürekli değildir.

$$p\rightarrow q \equiv q' \rightarrow p'$$