Processing math: 52%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
5.7k kez görüntülendi

fn(x)=1(1+x)n,x[0,1] olmak uzere

a) fn(x) dizisinin f(x) noktasal limiti nedir?

b) (fn) duzgun yakinsak midir, gosterin?

Akademik Matematik kategorisinde (93 puan) tarafından  | 5.7k kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

fn(x)=1(1+x)n dizisi (0,1) aralığında "sıfır fonksiyonuna" noktasal yakınsak olup düzgün yakınsak değildir (Limiti sürekli olmasına rağmen!).

Noktasal yakınsaklık barizdir.

Düzgün yakınsak olması için f(x)=0 olmak üzere,

lim 

sağlanmalıdır. Oysa,

\sup_{\left( 0,1\right) }\frac{1}{\left( 1+x\right) ^{n}}\geq \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}}\geq \frac{1}{ e} 

olduğundan, sol tarafın limiti sıfır değildir.

(623 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

a) \lim\limits_{n\rightarrow \infty} f_n(x)=f(x)=1, x=0 \text{ ise}; 0, \,\ x\in (0,1] \,\ \text{ise}

b) f fonksiyonu sürekli olmadığı için söz konusu fonksiyon dizisi düzgün yakınsak değildir.

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

yani f_n in duzgun yakinsak olmadigini f nin surekli olmadigindan mi anliyoruz?

Her bir terimi sürekli olan bir fonksiyon dizisi düzgün yakınsak ise yakınsadığı nokta (fonksiyon) süreklidir. Bu bir teorem. Ortalama bir analiz kitabında bulabilirsiniz. O zaman buna denk olarak şunu söyleyebiliriz: Fonksiyon dizisinin yakınsadığı fonksiyon sürekli değil ise fonksiyon dizisi düzgün sürekli değildir.

p\rightarrow q \equiv q' \rightarrow p'

20,299 soru
21,845 cevap
73,549 yorum
2,757,324 kullanıcı