1)Sıfır olmak demedim. Sıfır olmakla alakası yok dedim.
2) $[0,1]$ kapalı aralığını al. $c \in [0,1]$ olsun. Ve $f: [0,1] \to \mathbb{ R}$ bir fonksiyon olsun. Şimdi eğer
$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$ limiti varsa $f$ fonksiyonu $c$ noktasında türevlenebilir diyoruz ve bu limitin değerini $f'(c)$ ile gösteriyoruz. Yukarıdaki limit varsa, bir reel sayıya eşit. Ve $f'(c)$ bu reel sayıyı gösteriyor. Eğer her $c \in [0,1]$ için bu limit varsa, o zaman $f$ fonksiyonu $[0,1]$ aralığındaki her noktada türevlenebilir denir. Ya da kısaca $[0,1]$ aralığında türevlenebilir denir. Buraya kadar tamam mı?
3) Şimdi diyelim ki $f$ fonksiyonu $[0,1]$ aralığında türevlenebilir olsun. Bu ne demek? Tekrar ediyorum: her $c\in [0,1]$ için bir $f'(c)$ sayısı olması demek. Bu da fonksiyonun tanımı. Tanım kümendeki her $c$ elemanı için bir sayı vermek demek, tanım kümenden bir fonksiyon yazmak demek. Yani elinde bir fonksiyon var: $f':[0,1] \to \mathbb{R}$ fonksiyonu her $c\in [0,1]$ için yukarıda tanımladığımız $f'(c)$ değerini veriyor.
4) Şimdi elimize bu $f'$ fonksiyonunu alıyoruz ve ikinci seçeneğe geri dönüyoruz. Elimizde $f'$ fonksiyonu var. Bir $c \in [0,1]$ seçelim. $$lim_{x\to c} \frac{f'(x) - f'(c)}{x-c}$$ limitine bakalım. Bu limit var mı? Eğer bu limit varsa, limite $f''(c)$ diyelim. Eğer bu limit her $c\in [0,1]$ için varsa $f'$ fonksiyonu $[0,1]$ aralığında türevlenebilir diyoruz (madde 2). Ve $f$ fonksiyonu $[0,1]$ aralığında iki kere türevlenebilir diyoruz.
5) Şimdi de madde 3'ü tekrarlıyoruz. Ve $f'': [0,1] \to \mathbb{R} $ fonksiyonu elde ediyoruz. Ve tekrar madde 2'ye dönüp deminden beri yaptığımızı bu ikinci türeve uygulayıp üçüncü türevi elde ediyoruz.
Olay bundan ibaret. Bir fonksiyon ile başla. Madde 2'yi ve Madde 3'ü uygula. Başarılı olduysan başa dön ve Madde 2'yi ve Madde 3'ü uygula. Başarılı olduysan başa dön. Ve böyle devam et.
Yukarıda $[0,1]$ aralığı yerine istediğin alt kümesini alabilirsin reel sayıların. Tabii ki pratikte bir aralık alıyorsun. Ya da bazen bütün reel sayıları alıyorsun. Bir örnek verelim:
$f :[-1,1] \to \mathbb{R}$ fonksiyonu $x\leq 0$ için $-x^2/2$ olarak tanımlansın. Ve $x>0$ için $x^2/2$ olarak tanımlansın.
Bu fonksiyon verilen aralıktaki her noktada türevli. Neden? Sıfır dışındaki bölgelerde bir polinom gibi, polinomlar da türevlenebilir. Sıfırda da Madde 2'deki limiti sağdan ve soldan alırsak, limitin olduğunu ve bu limit değerinin sıfıra eşit olduğunu görebiliriz. Sana alıştırma olsun bu. Şimdi bu fonksiyonun türevlenebilir olduğunu söyledik. Türevi de şuna eşit: $x\leq 0$ için $-x$ ve $x \geq 0$ için ise $x$. Ama bu tam olarak mutlak değer fonksiyonu. Demek ki $f$ fonksiyonuna Madde 2 ve Madde 3'ü uygulayıp mutlak değer fonksiyonunu elde ediyoruz. Yani $f$ bir kere türevlenebilir $f'(x) = |x|$. Ama biliyoruz ki mutlak değer fonksiyonu Sıfırda türevlenebilir değil. Yani $f'$ fonksiyonu $[-1,1]$ aralığında türevli değil. Dolayısıyla bu aralıkta $f$ fonksiyonu bir kez türevlenebilir ama iki kez türevlenemez.
Oldu mu biraz daha?