$n$ herhangi bir doğal sayı ya da isterseniz herhangi bir ordinal olmak üzere $S_n = \mathrm{Sym}(n)$ grubunun otomorfizma grubu nedir?
İlginç bir cevabı var.
Lisans kategorisi için
Mühendislik ve temel bilimler matematik dersleri, giriş seviyesinde matematik bölümü dersleri ile ilgili sorular.
yazıyor. Orta seviye matematik bölümü dersleri ile ilgili sorular içinse akademik kategorisi öneriliyor. Eğer soru yanlış kategorideyse editörler taşıyabilirler.
Bildigim kadariyla $n=6$ icin $[\text{Aut}(S_6):\text{Inn}(S_6)]=2$ ve (sonlu) digerleri icin $1$. Ordinal kismini da dusunmek gerek. $\text{Inn}$ her turlu icinde de :)
"İlginç bir cevabı var." derken ne kastedilmisti. Ben pek anlamadim.
$n\neq 2, 6$ iken $\mathrm{Aut}(S_n)=S_n$ oluyor. Bu şu sayfada verilmiş.
https://en.wikipedia.org/wiki/Automorphisms_of_the_symmetric_and_alternating_groups
Referans yok bu sayfada ama sanırım
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation groups, Graduate Texts in Mathematics 163, Berlin, New York
da vardır bu. Başka bir sayfada var diyor. Kitap şu an yanımda yok, bakamadım. $S_{\infty}$ için the bütün otomorfizmalar inner oluyor. Bu da
https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group#CITEREFSchreierUlam1937
sayfasında var. Orijinal makale Almanca ama kısa. Sözlükle okunabilir herhalde.
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm28/fm28128.pdf
$n=6$ 'le ilgili birçok ilginç makale var anladığım kadarıyla. Belki bilen biri daha uzun yazar bu durumun neden değişik olduğunu.
$\mathrm{Aut}(S_n)$ için yazdığım sonucun bir sayfalık güzel bir ispatını buldum. Ilgilenenler için
http://www.ams.org/journals/bull/1940-46-06/S0002-9904-1940-07261-1/S0002-9904-1940-07261-1.pdf