$21!.22!.K$ çarpımının $17$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Question

$K=\frac{3^2+3.3+1}{4!.5!}+\frac{4^2+3.4+1}{5!.6!}+\cdots+\frac{20^2+3.20+1}{21!.22!}$

olduğuna göre $21!.22!.K$ çarpımının $17$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Comments

$21!.22!.K$   burada 21! ve 22! oldugundan direkt olarak 17 ile tam bölünmez mi?

---

Tüm terimlerde değil, son $4$ terim tam bölünmüyor onun harici bölünüyor. Ama o işlemler bana uzun gibi geldi, deneme sorusu çünkü.

---

haklısın gene odunumsu düşündüm artık karızmatık düşünmem gerek kaç ay geçti de mi :)

---

Öyle demeyelim ilk bakışta gözden kaçmış diyelim :)

Answer 1

merhabalar

$\frac{3^2+3.3+1}{4!.5!}+\frac{4^2+3.4+1}{5!.6!}+\cdots+\frac{20^2+3.20+1}{21!.22!}=\sum_{3}^{20}\frac{k^2+3k+1}{(k+1)!(k+2)!}$
olarak ifade edilebilir

$\sum_{3}^{20}\frac{(k+2)(k+1)-1}{(k+1)!(k+2)! }  =  \sum_{3}^{20}\frac{(k+2)(k+1) }{(k+1)!(k+2)! } -  \sum_{3}^{20}\frac{1 }{(k+1)!(k+2)! }$

gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra toplam sembolü içinde 

$\frac{1 }{(k)!(k+1)!}- \frac {1}{(k+1)!(k+2)!}$ elde edilir

taraf tarafa alttaki ifadeler toplanır.

 $\frac{1 }{(3)!(4)!}- \frac {1}{(4)!(5)!}$ 

$\frac{1 }{(4)!(5)!}- \frac {1}{(5)!(6)!}$

...

$\frac{1 }{(20)!(21)!}- \frac {1}{(21)!(22)!}$

K=$\frac{1 }{(3)!(4)!}- \frac {1}{(21)!(22)!}$  
 $\left (   \frac{1 }{(3)!(4)!}- \frac {1}{(21)!(22)!}    \right ).21!. 22!$
$\left (   \frac{21!.22! }{3!4!}- 1\    \right )$

bu sayı ise 17 modülünde -1 denktir.

Dolayısıyla kalan 16 bulunur

iyi çalışmalar

Comments

Teşekkürler hocam.

---

rica ederim, her ne kadar latex yazmaya yeni başlayıp biraz uğraşsam da yazmak için, benim için keyiftir, sevgiler, saygılar..