Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
837 kez görüntülendi

$K=\frac{3^2+3.3+1}{4!.5!}+\frac{4^2+3.4+1}{5!.6!}+\cdots+\frac{20^2+3.20+1}{21!.22!}$

olduğuna göre $21!.22!.K$ çarpımının $17$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından  | 837 kez görüntülendi
$21!.22!.K$   burada 21! ve 22! oldugundan direkt olarak 17 ile tam bölünmez mi?

Tüm terimlerde değil, son $4$ terim tam bölünmüyor onun harici bölünüyor. Ama o işlemler bana uzun gibi geldi, deneme sorusu çünkü.

haklısın gene odunumsu düşündüm artık karızmatık düşünmem gerek kaç ay geçti de mi :)

Öyle demeyelim ilk bakışta gözden kaçmış diyelim :)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

merhabalar

$ \frac{3^2+3.3+1}{4!.5!}+\frac{4^2+3.4+1}{5!.6!}+\cdots+\frac{20^2+3.20+1}{21!.22!}=\sum_{3}^{20}\frac{k^2+3k+1}{(k+1)!(k+2)!} $
olarak ifade edilebilir

$  \sum_{3}^{20}\frac{(k+2)(k+1)-1}{(k+1)!(k+2)! }  =  \sum_{3}^{20}\frac{(k+2)(k+1) }{(k+1)!(k+2)! } -  \sum_{3}^{20}\frac{1 }{(k+1)!(k+2)! } $

gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra toplam sembolü içinde 

$  \frac{1 }{(k)!(k+1)!}- \frac {1}{(k+1)!(k+2)!}   $ elde edilir

taraf tarafa alttaki ifadeler toplanır.

 $\frac{1 }{(3)!(4)!}- \frac {1}{(4)!(5)!}$ 

$  \frac{1 }{(4)!(5)!}- \frac {1}{(5)!(6)!}   $

...

$  \frac{1 }{(20)!(21)!}- \frac {1}{(21)!(22)!}$

K=$  \frac{1 }{(3)!(4)!}- \frac {1}{(21)!(22)!}$  
 $\left (   \frac{1 }{(3)!(4)!}- \frac {1}{(21)!(22)!}    \right ).21!. 22!$
$ \left (   \frac{21!.22! }{3!4!}- 1\    \right ) $

bu sayı ise 17 modülünde -1 denktir.

Dolayısıyla kalan 16 bulunur

iyi çalışmalar

(2.8k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Teşekkürler hocam.

rica ederim, her ne kadar latex yazmaya yeni başlayıp biraz uğraşsam da yazmak için, benim için keyiftir, sevgiler, saygılar..

20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,050,605 kullanıcı