$A \in \mathbb{Z}^+$ olmak üzere $|x-2A| + |x-A| + |x+3A|$ ifadesinin alabileceği en küçük değer 30 ise $A^{2}-A$ kaçtır?

Question

Yanıt: $30$
teşekkürler

Answer 1

Mutlak değerli en büyük veya en küçük değerini kritik noktalarda alır. Kritik noktalar  2A,  A,  -3A  dır.

İfadenin tamamına Y diyelim

X=A      ise   Y=5A

X=2A    ise   Y=6A

X=3A    ise   Y=9A

A pozitif olduğundan en küçğk Y değeri 5A dır.

5A=30  ise   A=6

$A^2-A=30$   olur.

Answer 2

Eğer verilen toplamı $f(x)=|x-2A|+|x-A|+|x+3A|$ olarak alırsak, bu fonksiyonun en küçük değeri $x=2A,x=A,x=-3A$ köklerinden birinde alacaktır. Buna göre ;

$f(2A)=|A|+|5A|=6A$,

$f(A)=|-A|+|4A|=5A$,

$f(-3A)=|-5A|+|-4A|=9A$ olacaktır. Bu sonuçlara göre fonksiyon en küçük değerini  $x=A$'da almıştır. Yani      $5A=30\Rightarrow A=6$   olur. Demek ki $A^2-A=36-6=30$ olur.