Bir $f$ fonksiyonunun sağ tersinin olması için gerek ve yeter koşul örten olmasıdır. Gösteriniz.

Question

Yukarıda sözel ifadesini verdiğimiz teoremi formel olarak aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

Teorem: $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere

$$f, \text{ örten}\Leftrightarrow \left(\exists g\in X^Y\right)(f\circ g=I_Y) $$

Answer 1

Varsayalım ki $f:X\to Y$  bir $g:Y\to X$  sağ terse sahip olsun. Bir $b\in Y$  için $g(b)$  mevcuttur. $g$  bir sağ ters olduğundan $f\circ g(b)=b$ olup $Y$  nin her elemanı  $X$  de bir ön görüntüye sahiptir. Dolayısıyla $f$  örten olur.

Şimdi varsayalım ki $f:X\to Y$ örten olsun. $f$  örten olduğundan  $X$  nın boştan farklı bir alt kümesi  $A$ olmak üzere her $a\in A$  ve her  $b\in Y$   için  $f(a)=b$  olacak şekilde bir  $a\in A$  vardır. $A$  nın keyfi bir elemanı $x$  olmak üzere  $g:b\to x$   fonksiyonunu tanımlayalım. Bu durumda her $b\in Y$   için  $f(g(b))=b$   olup $g$  fonksiyonu  $f$  nin bir sağ tersidir.