Anıl ın açıklamasının küresel kütlenin yoğunluğu sabit olmadığı ama sadece küre merkezine uzaklığa bağlı olduğu durumda da doğru olduğunu gösterin.

Question

Yani küre şeklindeki cismin yoğunluğu (bir $c>0$ sabiti için) $\delta(\rho,\phi,\theta)=cf(\rho)\quad (f \textrm{ sürekli})$ iken de iki potansiyelin aynı olduğunu gösterin. (Dolayısıyla yerçekimi kuvveti de aynı olur)

Comments

Yoğunluğu en ucunda toparlanmış olan küre için de mi , aynı sonucu alabiliyoruz , merak uyandırıcı.

---

Önceki gibi. Yine tüm kütle merkezde toplanmış gibi davranıyor

Answer 1

Önceki sorudaki gibi, dıştaki noktadaki potansiyeli hesaplayalım. Bu kez,($\delta=f(\rho)$ şeklinde olduğunu kabul ettiğimiz) yoğunluğu  da hesaba katacağız:

$$\textrm{Potansiyel}=G\int_0^a\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \frac{f(\rho)\rho^2}{\sqrt{b^2+\rho^2-2b\rho\cos\phi}}\,\sin\phi\,d\phi\,d\theta\;d\rho$$ olur. (sınırlar sabit olduğu için dilediğimiz sırada integrasyon yapabiliriz, $\phi-\theta-\rho$ sırasında integralleyelim) $u=b^2+\rho^2-2b\rho\cos\phi$ için

$$\int_0^\pi \frac{\sin\phi}{\sqrt{b^2+\rho^2-2b\rho\cos\phi}}\:d\phi=\left.\int_{(b-\rho)^2}^{(b+\rho)^2}\frac1{b\rho}\frac1{2\sqrt{u}}\;du=\frac{\sqrt{u}}{b\rho}\right|_{(b-\rho)^2}^{(b+\rho)^2}=\frac2b$$

$$\int_0^{2\pi}\frac2b\,d\theta=\frac{4\pi}b$$

$$\textrm{Potansiyel}=G\int_0^{a}\frac{4\pi f(\rho)\rho^2}{b}\,d\theta=\frac{4\pi G}{b}\int_0^{a} f(\rho)\rho^2\,d\theta$$

Kürenin kütlesi kolayca bulunur:

$$\textrm{Kürenin Kütlesi}=\int_0^a\int_0^{2\pi}\int_0^\pi f(\rho)\:\rho^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta\;d\rho=4\pi\int_0^a f(\rho)\rho^2\,d\rho$$

Tüm Kütle kürenin merkezinde olsaydı, $b$ uzaklığındaki noktadaki Potansiyel:

$$\frac{G M}b=G\frac{4\pi \int_0^a f(\rho)\rho^2\,d\rho}b$$

olur. Görüldüğü gibi iki potansiyel eşittir.

Bunun sonucu,  potansiyelin Gradyantı (çarpı $-1$) olan çekim kuvvetleri de eşittir.

Comments

elinize sağlık.