Question

Toplamları çarpımlarının 4 katına eşit olan iki pozitif sayının kareleri toplamının en küçük olduğu durumda bu sayıların çarpımı kaçtır?

Comments

a+b=4.ab

kare alıp işleme devam edersek bişeyler çıkabilir.

---

ben bişey çıkaramadım ordan, soru türev sorusu bu arada

---

evet orda bi minimumluk sezdim,ben kaçar :)

Answer 1

Toplamları,çarpımlarının 4 katına eşit,

$a,b\in\mathbb R^+\longrightarrow a+b=4ab$


$a^2+b^2=S$  ise

$S_{min}$  isteniyor


$a+b=4ab$  oldugundan


$a=4ab-b$

$b=\dfrac{a}{4a-1}$

$S=a^2+\dfrac{a^2}{(4a-1)^2}$     $ {   türevini alıp ekstrem noktalara bakalım $


$S'=2a+\left(\dfrac{2a(4a-1)^2-8.(4a-1).a^2}{(4a-1)^4}\right)=2a+\left(\dfrac{8a^2-2a-8.a^2}{(4a-1)^3}\right)=2a+\left(\dfrac{-2a}{(4a-1)^3}\right)$

$S'=\dfrac{2a(4a-1)^3-2a}{(4a-1)^3}$

$S'_{min}=0$

$S'=\dfrac{2a(4a-1)^3-2a}{(4a-1)^3}=0$

$(4a-1)^3-1=0$

$a_1=1/2$

$2a=0$

$a_2=0$

Pozitif denildiğinden $a\neq 0$  ,$a=1/2$ olur.


$ a+b=4ab$

$1/2+b=2b$

$b=a=1/2$   olur.

$a.b=1/4$

Comments

hocam 1.türevi alırken paydadakinin içinin türevinde bir hata yaptık sanırım, ama gidişat yattı kafama. Birde min değerini 0 bulduktan sonra bu şekilde devam edebilir miyiz?

$(a+b)^2$ = 4$a^2b^2$

$a^2+b^2+2ab$ = 4$a^2b^2$

$0 + 2ab$ = 4$a^2b^2$

$ab$ = $1/2$

---

min değeri 0 ama ,soruda bunların pozitiv oldugu dendıgı ıcın 0 almadım.Hatamı göremedim , zaten cevap mühim değil yöntem bu şekkil.