Analiz

Question

Bir sivrisinek 1 saniyede$1/2$metre, $2$ saniyede $1/3$metre$,  3$saniyede$1/4$metre ,... bu şekilde gidiyor  0. Saniyede sivrisinek kaç metre hızla yola çıkmıştır ?

Comments

Zamana $t$ dersek, $t$. saniyede aldığı yol $\frac{1}{t+1}$ gibi duruyor.

---

Evet t saniyede 1/1+t  yol alıyor 

---

Soru icin biraz aciklama alabilir miyim?

1-0 sn : 1/2 metre

1-2 sn: 1/3 metre

2-3 sn: 1/4 metre

mi 

yoksa 

0-1 sn : 1/2 metre

0-2 sn: 1/3 metre

0-3 sn: 1/4 metre

mi?

---

0-1 saniyede 1/2

0-2 saniyede 1/3

0-3 saniyede1/4

---

Tesekkurler. 

Dogru anliyor muyum? 2 saniyede aldigi yol, 1 saniyede aldigi yoldan daha az. Demek ki 1 saniye sonra geri donmus ve ben toplam aldigi mesafeye bakiyorum.?

---

Pardon yanlış yaznışm

0-1 saniyede 1/2 

1-2 saniyede 1/3 

2-3 saniyede 1/4 olack

---

Cevap $(\frac{1}{x+1})$ 'in türevinin $x=0$ noktasındaki değeri değil mi?

---

Evet öyle oluyor

---

Soru aslında iyi tanımlanmamış. Bazı bilgilere ihtiyaç var. 

Parçacık 0-1 saniye aralığında 1/2 birimlik mesafeyi çok farklı şekilde alabilir vs. Soruyu daha belirgin şekilde ortaya koymak lâzım sanırım. 

Arkadaşların önerdiği fonksiyon ise, her "aralığı" bir doğal sayıyla eşliyorlar gibi geldi. Bu durumda ister-istemez yanlış bir yol izleniyor olabilir.

Bu verilenlerde, en iyimser halde, parçacığın yukarıda belirtilen zaman aralıklarındaki ortalama hızının grafiği elde edilebilir.

---

Mesela: Hareket sabit ivmeli midir? Eğer öyleyse, imeye $a$ dersek zamansız hız formülü denen formülden:

$$v_2^2-v_1^2=2ax=2a\frac{1}{2}=a$$ elde edilir. 

Şimdi bu $v_2$ hızı bir sonraki zaman diliminin ilk hızı olacak:

$$v_3^2-v_2^2=2a\frac{1}{3}\Rightarrow v_3^2=\frac{2a}{3}+v_2^2=\frac{2a}{3}+a+v_1^2,$$ $$v_3^2=\frac{5a}{3}+v_1^2.$$ alınır. Bunu genellemeye çalışırsak, $$v_n^2-v_{n-1}^2=2a\frac{1}{n},$$ $$v_{n-1}^2-v_{n-2}^2=2a\frac{1}{n-1},$$   $$\vdots$$ $$v_2^2-v_1^2=2ax=2a\frac{1}{2}$$ bulunur. Bu ifadeleri toplarsak: $$v_n^2-v_1^2=2a \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\dots+\frac{1}{2} \right)$$

Parçacığın birim zamanda aldığı yol azaldığı için $a<0$'dır; $a=-\alpha$, $\alpha>0$ alabiliriz (yavaşlıyor yani). O zaman,

$$v_n^2-v_1^2=-2\alpha \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\dots+\frac{1}{2} \right)$$ $$v_1^2=v_n^2+2\alpha \left(\frac{1}{2}+\dots+ \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right).$$ Şimdi ne olacak peki?! $n$ yeterince büyükse, problemin kuruluşundan, hızın $0$'a gitmesi gerekir. Diğer taraftan ise parantez içindeki ifade sınırsız şekilde büyür. (Bilindiği gibi $\sum \frac{1}{n}$ ıraksaktır!) Eğer $\alpha$ pozitif bir sabit ise ki varsayımımız böyle, o zaman $v_1\rightarrow \infty$ olmakta. 

Matematik açısından sıkıntı yok fakat fiziken sonsuz hız ne demek? Sonsuz hızın olmadığını haklı olarak söylersek, o zaman hareketin sabit ivmeli bir hareket olmadığı çıkar ortaya.

Problemin daha açık ifade edilmesi gerektiğini söylerken böyle gariplikleri (sonsuz hız vs.) kasdetmiştim. 

Answer 1

cevap silinmistir.

Comments

yorum silinmistir...

---

yorum silinmistir...

---

bu yorum silinmistir...

---

Tamam, bunları da söylersin ifadende.

---

Bukadar ciddiye alacaginizi gercekten dusunmemistim. neyse ozur dilerim iyi geceler.

Answer 2

$f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$,

$f(x) = \frac{1}{x+1}$ konum fonksiyonu olsun.

$f$ fonksiyonun türevinin $x=0$ noktasındaki değeri başlangıç hızını vermeli.

$\frac{d f(x)}{dx} = -\frac{1}{(x+1)^2}$

$\frac{d f(0)}{dx}=-1$