Sorunuzda verilen z sanırım tamsayılar kümesini göstermekte. Buna göre $5\Bbb{Z}$; $\Bbb{Z}$'nin maksimal ideali. Çeşitli yollar:
1- Tamsayılar halkası birimli ve değişmeli olduğundan $\Bbb{Z}/5\Bbb{Z}\simeq \Bbb{Z}_{5}$ ve $\Bbb{Z}_{5}$ cisim olduğundan ($5$ asal) $5\Bbb{Z}$ maksimal.
2- $5\Bbb{Z}\leq I \leq \Bbb{Z}$ gibi bir $I$ ideali mevcut olsun. Tamsayılar halkası esas ideal bölgesi olduğundan her ideali tek üreteçlidir. O halde $I=<a>$ olacak şekilde bir $a\in \Bbb{Z}$ elemanı vardır. $5\in I$ ve $5=ar$, $r\in \Bbb{Z}$ yazılabilir. Buradan $a=\pm 5$ veya $a=\pm 1$ şeklindedir. Heriki durum için $I=5\Bbb{Z}$ veya $I=\Bbb{Z}$ elde edilir ki bu bize $5\Bbb{Z}$ idealinin $\Bbb{Z}$'de maksimal olduğunu söyler.
3- Bir yol daha var. Onuda size bırakıyorum.