Question

$p_{n}$, $n.$ asal olmak üzere $n>3$ için $p_{n}<p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n-1}$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Birşey düşündüm ama bilmiyorum doğru mu

Tümevarım yöntemi kullansak

N=4 için doğru$ p4<p1+p2+p3 $  (7<2+3+5) &radic;

N=5 için doğru $ P5< P1+p2+p3+p4$ &radic;

...

N=k için doğru olduğunu varsaysak

$Pk<P1+...+Pk-1. $ Şimdi

k+1 için göstermeliyiz

n yerine k+1 koysak

$Pk+1<p1+...+pk $  sağladı desek

---

Tabiki de olmaz. Tümevarım ispat yöntemi değil, indis Değiştirme olur sadece!

---

Evet biliyordum ama yazmak geldi içimden :)

Answer 1

Karıncaya atom bombası atmış gibi mi olacak emin değilim ancak istenilen sonucu Bertrand'ın postülasından çıkartabiliyoruz.

Tümevarım yaparak bir $n \geq 4$ için iddianın doğru olduğunu kabul edelim, yani $p_n < \sum_1^{n-1} p_i $. Bertrand'ın postülası gereği $p_n$ ile $2p_n$ arasında en az bir asal sayı vardır. Dolayısıyla $p_n < p_{n+1} < 2p_n$ olur. Tümevarım hipotezini kullanırsak da $p_n < p_{n+1} < p_n+p_n< p_n+ \sum_1^{n-1}  p_i < \sum_1^n p_i$ elde ederiz.

Comments

Bir tesekkur ederim cevap icin bende bertrand postulatini kullanmam gerektigi ama nasil kullanmam gerektigine dair ikilemdeydim :)

---

Burak karınca için atom bombası demişsin ama ben haklısın diyemedim. Bu karınca görünümlü godzilla olabilir mi? Bunu daha basit şekilde nasıl çözebiliriz? Tabi benimki boş bir soru, aklına daha bir basit çözüm gelse onu kullanırdın elbet.

---

Haklı olabilirsin. Soruya bakınca aklıma Bertrand postülası geldi hemen ancak sayılar teorisiyle ilişkim daha "genel kültür" boyutunda kaldığı için içten içe herhalde daha elementer bir yoldan yapmanın yolu vardır da ben göremiyorumdur diye düşündüm :). Zira eşitsizliğin sağ tarafındaki toplam soldaki terime göre fütursuzca büyüyor.

Öte yandan bu tarz bir eşitsizlik kanıtlamak için bir noktada asal sayma fonksiyonunun büyüme hızıyla ya da asalların dağılımıyla ilgili "nontrivial" bir bilgi kullanmamız gerekeceği için Bertrand postülası ya da benzer bir teoremden kaçmanın yolu olmayabilir.

---

Ben de ilk burdan ispatladim, Burak yazdiktan sonra biraz diger sitelere de baktim, orda da bu sekilde gosterilmis.

Elementer olarak aklima tumevarim geliyor, onu denerken de $p_{n+1}\leq2p_n$ kacinilmaz oluyor. Cunku asal sayinin sonsuzda giderken siniflandirmasini yapmak cok zor.

Cok ugrasmadim ama bu ikisinin ispatinin esdeger oldugununu (gunumuz sartlariyla), yani aralarinda polinom bir sure olacagini dusunuyorum. Bu konuda yanlis olma olasiligimi hesaplayamiyorum.