Question

2 vektör arasındaki açı nasıl bulunur formülü ve geliş yerini gösteriniz.(vektörler "n" boyutta tanımlıyken)

Answer 1

Önce düzlemde yani $n=2$ için ispatı yapalım sonra $n$ boyuta genellenebilir.

$\vec{V}=(x_1,y_1),\quad \vec{W}=(x_2,y_2)$ olsunlar.Bu iki vektörün oluşturduğu açı ölçüsü $\theta$ olsun. $O$ noktası orijin olmak üzere, $OVW$ üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa 

$|\vec{VW}|^2=|V|^2+|W|^2-2|V|.|W|.cos\theta$ dır.

$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-2|V|.|W|.cos\theta$ dır 

$-2(x_1.x_2+y_1.y_2)=-2|V|.|W|.cos\theta$ dır 

$\frac{x_1.x_2+y_1.y_2}{|V|.|W|}=\frac{x_1.x_2+y_1.y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_2^2}}= cos\theta$     olacaktır. Eğer vektörler $n$ boyutlu uzayın $\vec{V}=(x_1,x_2,x_3,...,x_n),\quad \vec{Y}=(y_1,y_2,y_3,...,y_n)$ şeklinde vektörleriyse,formül $cos\theta=\frac{x_1.y_1+x_2.y_2+x_3.y_3+...+x_n.y_n}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2}.\sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2+...+y_n^2}}$ şeklinde olacaktır.

Comments

elinize sağlık.     

Answer 2

$\boxed{\boxed{||\overrightarrow u||=\sqrt{\displaystyle\sum_{\ell=1}^n u^2_\ell}}}$       $n$  boyuttaki $\overrightarrow u$ vektörünün büyüklüğüdür.

ve


$\boxed{\boxed{\displaystyle\sum_{\ell=1}^n u_{\ell} .v_{\ell}=\overrightarrow u.\overrightarrow v}}$    yani $\overrightarrow u$ vektörü ve $\overrightarrow v$ vektörünün skalelistik(veya nokta) çarpımıdır.

çizgede $D$ köşesinde oluşan açıya $\gamma$ der isek,      $\to \quad ( m(\widehat D)=\gamma$)

ve iki vektör arasında oluşan açı $\pi-\gamma=\theta$ olur

$(||\overrightarrow u+\overrightarrow v||)^2=(||\overrightarrow u||)^2+(||\overrightarrow v||)^2-2.||\overrightarrow u||.||\overrightarrow v||.cos\gamma$  skalelistik eşitliği çıkar.

en başta verilen eşitliği kullanarak bir daha yazarsak,


$$(||\overrightarrow u+\overrightarrow v||)^2=(||\overrightarrow u||)^2+(||\overrightarrow v||)^2-2.||\overrightarrow u||.||\overrightarrow v||.cos\gamma$$
$$\equiv$$

$$\left(\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2+\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2+2.\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i.v_i }\right)^2=\left(\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2}\right)^2+\left(\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2}\right)^2-2.\left(\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2}\right).\left(\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2}\right).cos\gamma$$

$$\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2+\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2\quad\text{ ler sadeleşicektir ve geriye,}$$

$$2.\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i.v_i =-2.\left(\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2}\right).\left(\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2}\right).cos\gamma$$

$$cos\gamma=-\dfrac{ \displaystyle\sum_{i=1}^nu_i.v_i  }{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2.\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2}}\quad\text{en başta verilen nokta çarpım gereği yazarsak;}$$

$$\boxed{\boxed{\boxed{cos\gamma=-\dfrac{\overrightarrow v.\overrightarrow u}{||\overrightarrow v||.||\overrightarrow u||}}}}\quad\text{olur}$$

$$\pi-\gamma=\theta\quad\text{olduğundan}$$



$$\boxed{\boxed{\boxed{cos\theta=\dfrac{\overrightarrow v.\overrightarrow u}{||\overrightarrow v||.||\overrightarrow u||}}}}\quad\text{olur ve}$$



$$\boxed{\boxed{\boxed{\theta=arccos\left(\dfrac{\overrightarrow v.\overrightarrow u}{||\overrightarrow v||.||\overrightarrow u||}\right)}}}\quad\text{olur ve 2 vektör arasındaki açıyı bulmuş oluruz}\quad \Box$$

Comments

Sizin ispat daha hoş. Teşekkürler.

---

Ek;

$(||u||)^2=(\overrightarrow u).(\overrightarrow u)$  oldugundan daha kısa da çözebilirdim.

---

Untulmuş herhalde:

Bu formuldeki $\gamma$ açısı $u$ ile $v$ arasindaki açı değil. O açı $\pi-\gamma$. Bu nedenle cevapta olmamasi gereken bir $-$ çıkıyor.

---

neden $\pi-\gamma$ yaptık ki hocam? aradaki açıya isim verip cosinus bagıntısı yaptım.

---

$u$ ile $v$ arasindaki açı $C$ kosesindeki açıdır.

---

C de degıl sanırım , çok sağolun tam anladım, vektörlerin başlangıç noktasını tek bır noktaya toplayıp aralarındaki açıyı alacağız. 

---

Haklisin. D deki dış açı demelydim.