Doğal sayılardan başlayarak dediğinize göre doğal sayı, doğal sayılar kümesi, doğal sayılarda eşitlik, doğal sayılarda toplama, doğal sayılarda çarpma, doğal sayılarda sıralama vs gibi kavramları bildiğinizi varsayarak cevaplıyorum.
$\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesi olmak üzere
$$\beta=\{((a,b),(c,d))|a+_{\mathbb{N}}d=_{\mathbb{N}}b+_{\mathbb{N}}c\}\subseteq\mathbb{N}^2\times\mathbb{N}^2$$ bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. İspatını egzersiz olarak size bırakıyorum.
$\mathbb{N}^2$ üzerinde bir denklik bağıntısı olan $\beta$ denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıflarının her birine bir tamsayı; denklik sınıflarının oluşturduğu oran (bölüm) kümesine de tamsayılar kümesi denir.
$$\mathbb{Z}:=\mathbb{N}^2/\beta=\left\{[(a,b)]\big{|}(a,b)\in\mathbb{N}^2\right\}$$