Tümevarım ile yapmayı deneyin mi?
$n^5-n=n(n^4-1)$.$0,1,2,3,4$ için yani sayıların $mod$$5$ deki değerleri için $n^4-1$ in $mod5$ de neye eşit olduğuna bakabilirsin.
$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ şeklinde yazabiliriz. $5$ sayısının $n,(n-1)\text{ ve } (n+1)$'i tam bölmediğini kabul edelim. $$n\neq 5k\\n\neq 5k+1\\n\neq 5k+4$$ Geriye $n=5k+2\text{ ve } n=5k+3$ olduğu durumları incelemek kaldı. $n^2+1=(5k\pm 2)^2+1=25k^2\pm20k+\underbrace{4+1}_5$ olduğundan $n^2+1$ sayısı $5$'e bölünür. Dolayısıyla her $n$ pozitif tamsayısı için $5\mid n^5-n$ olur.
$n=1$ için önermenin doğru olduğu barizdir. $n=k$ için $k^5-k=5p$ olacak şekilde bir $p$ tamsayısı vardır. O halde $n=k+1$ için de böyle bir tamsayı bulunmalıdır. $$(k+1)^5-(k+1)=k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-(k+1)$$ $$=\underbrace{(k^5-k)}_{5p}+5(k^4+2k^3+2k^2+k)$$ Olduğundan her $n$ pozitif tamsayısı için $5\mid n^5-n$'dir.