Eşitsizlik

Question

$(x-4)$. ( $x^2$ + $ax$+ b) $\geq$0 eşitsizliğinin çözüm aralığı [-2,$\infty$) ise a+b kaçtır?

Bir çözüm bulamadım

Comments

güzel soru açıklamaya çalışıyım cevapta.

---

evet,bekliyoruz efenim

---

keşke böyle demeseydim ,daha iyi açıklayabilen insanlara engel oldum sanırım:) birdaha böyle demiyecem boş laf yapcagıma cevabı eklesem daha iyi olurdu:) herkesten özür diliyorum

---

tahminim a+b=5 :)

---

Herkesin çözümü ayrı olabilir ,hepsinin bana bize katacağı şeyler var. İlgin için teşekkürler bi çözümün varsa bekliyorum efenim

---

şuan benim önümü kapattın atom,eyvallah eyvallah......

Answer 1

Şöyle düşünelim;

(x-4) ün nezaman negatif nezaman pozitif olduğu belli.

$x\geq4$ için $x^2+ax+b$ nin pozitiv olması yeterli veya


$x < 4$  için  $x^2+ax+b$ nin  negativ olması yeterlidir.


$x^2+ax+b$  nin başkatsayısının işareti pozitiv dir yani parabol kolları havadadır
Şekilde  başkatsayısı pozitiv olan bir parabol örneklenmiştir.

Bunun dışında çözüm aralığı $[-2,\infty)$ yani x sadece bu aralıklarda bu eşitsizliği sağlıyor.

bildiğimiz tek kök $(x-4)$ yani 4 dür  demekki bunun dışında bir kök mevcut  {$[-2,\infty)$olduğundan tahmin ettim}

şimdi diyorum ki

parabol ve  x=4 noktası nasıl konumlarda bulunuyor?




şimdi parabol ün sağdaki kökü 4den büyük olsaydı kök ve 4 arasında bir aralık olucaktı dolayısıyla bu aralıkta parabol negatif , x-4 pozitiv olucaktı ve çarpım negativ olucaktı yani tanıma uymuyacaktı

parabolün sağdaki kökü 4 den küçük olsaydı kök ve 4 arasında bir aralık olucaktı ama busefer o aralıkta x-4 negativ fonksiyon pozitiv ama gene çarpımları negativ olucaktı yani baştaki tanımlamaya uymayacaktı çünki $(x-4)(x^2+ax+b)\geq0$ olarak tanımlanmış.

ozaman diyoruzki en sağdaki parabolün kökü  x-4 ün kökü ile çakışmalı yani   x=4 sayısı $(x^2+ax+b)$ diye nitelendirdiğimiz parabolün bir kökü imiş


aynı mantıkla -2 için test edersek -2 'ninde $(x^2+ax+b)$ parabolünün bir diğer kökü olduğu anlaşılır dolayısıyla 



$(x^2+ax+b)=C.(x+2)(x-4)$ imiş   C=1 olduğunu görebiliriz çünki her 2 tarafın da baş katsayısı eşit olucaktır.


$x^2+ax+b=x^2-2x-8$ olucagından

$a+b=-10$ oluyor    

Comments

  Teşekkürler .

---

rica ederim ,asıl ben çok teşekkür ederim kendimi test etme şansı buldum ...

Answer 2

Ucuncu dereceden bir polinom sadece bir koku var gibi ve bu kok de $-2$ymis gibi davraniyor. Bir diger kok de $4$ oldugundan $4$ cift kat kok olmalidir. Bu da bize polinomun $$(x+2)(x-4)^2$$ olmasi gerektigini verir.

------------------------------

Bu cozum kumesine sahip olan baskatsayisi $1$ olan ve $3$. dereceden olan polinomlar ise su sekildedir:

(1) $u$ bir gercel sayi olmak $$(x+2)(x-u)^2$$ formunda. ($u=-2$ de olabilir).

(2) $x^2+ax+b$ gercel kok icermemek sartiyla $$(x+2)(x^2+ax+b)$$ formunda.

Bir $-2$ disinda baska bir kok ($4$) daha oldugunu bildigimizden ilk forma uymustur.