Yakınsaklık, ıraksaklık.

Question

$\sum a_n$ ve $\sum b_n$  serileri herzaman pozitif terimler içeriyorsa 


$lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_n}{b_n}$    var ise


neden , $\sum b_n$  yakınsak ise $\sum a_n$ de yakınsaktır

$\sum b_n$ ıraksak ise $\sum a_n$ de ıraksaktır diyoruz?

Comments

$x$ ne? Yazmış olduğun ifade doğru mu? İddia mı?

---

düzelttım hocam, bn ve an leri de değiştirdim bir daha bakarmısınız,

burada tam ne yaptıgımızı anlamadım limit tanım geregi

eğer $lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_n}{b_n}=L$ ise  öyle bir epsilon vardır ki.

$|\dfrac{a_n}{b_n}-L| < \epsilon$ olsun ve 

$-\epsilon <\dfrac{a_n}{b_n}-L  < \epsilon$       hertarafı  L ile toplayıp b_n ile çarpınca gelen yorumdan mı yapıyoruz herşeyi?

---

O limit 0 dan farklı bir sayı ise iddia doğru.

---

son ifade;

$b_n[-\epsilon+L] < a_n < b_n[\epsilon+L] $


b_n ıraksıyorsa b_n den büyük olan a_n de ıraksar

b_n yakınsıyorsa b_nden küçük a_n de yakınsar.

sadece bu kadar mı?

---

$\varepsilon=\frac L2$ alıp dene (bu nedenle $L\neq0$ a gerek var).

---

Ek: limit sifir ise "yakinsak ise yakinsak" saglaniyor sadece. Sonsuz ise de "iraksak ise iraksak".

---

$L=0$ ise       $\epsilon=\dfrac{L}{2}=0$       $\epsilon=0$  olucaktır  

Dolayısıyla   $|\dfrac{a_n}{b_n}| < 0$  olur ve çelişir.

$L\neq 0$ diye düzelteyim . peki diğer şeyler hakkında ne söyleyebilirsiniz Sayın Dogan hocam?

---

evet   0<   oldugundan yakınsaklığı inceleyebiliyoruz ıraksaklık olmuyor. 
Ek bilgi için teşekkürler Sayın Sercan hocam.