$x\ne 0,y\ne0 , x\ne \mp1$ ve $y\ne \mp1$ $x^y = y^x$ , $x^2=y^3$denklem sistemini sağlayan x değeri kaçtır?

Question

$x\ne 0$

$y\ne0$

$ x\ne \mp1$ 

 $y\ne \mp1$

$x^y = y^x$   ve  $x^2=y^3$ denklem sistemini sağlayan x değeri kaçtır? 

Comments

$x=3$ ve $y=2$ sagliyor. verilen iki esitligin bariz cozumlerinden. Peki baska var mi, bunu da incelemek gerekir.

---

$3^2 = 2^3$ olmaz ama hocam? 

---

Pardon. Haklisin. Kafam gitmis.

Oyle bir teorem vardi: Yeni ispatlandi hatta $x^a-y^b=1$ esitligini saglatan $a,b>1$, $x,y>0$ tam sayilari sadece $3^2-2^3=1$ olarak saglaniyor.

---

Hocam bunları nereden takip ediyorsunuz? Ben daha önce bu konuda hiç araştırma yapmadım da :/ Şimdi sitede sürekli dikkatimi çekiyor 

---

$x=\pm 2\sqrt2$ gibi birşey sanırım

---

Cevabını bilmiyorum maalesef 

---

arkadaşım, ben birşeyler yazayım hatam varsa yardımcı olurmusun? kafam biraz karışık şuanda

---

Elimden geldiğince olurum tabi , bana dediyseniz eğer 

---

evet size dedim , cevaba yazdım bir kontrol ediniz.

---

Ben cok takip eden birisi degilim. Gecen kutuphanede kitap gordum. Kitabin adi bu $x^a-y^b=1$. Tabi ispatlanmadan once basilmis bir kitap. Cok uzun zaman oncesine dayaniyor bu soru. Catalan Sanisi (Conjecture) olarak geciyor..

---

Anladım , bu tarz kitaplara daha çok baksam iyi olacak :)

---

Forumlar var, onlari takip edebilirsin. Ozgur'un forumlar basligi var. Onlar genelde eglenceli guzel matematige deginiyor. 

Answer 1

$y^3=x^2$  ozaman 

hertarafın küpkökünü alırsam artılı ve eksili 2ihtimal olmaz kafam rahat yaparım de mi?

$y=x^{^{\frac{2}{3}}}$  olur


$x^y=y^x$  de yerine koyarsam


$x^{(x^{^{\frac{2}{3}}})}=x^y$             (x üssü (x üssü(2/3)))


$\left[x^{^{\frac{2}{3}}}\right]^x=x^{^{\frac{2x}{3}}}=y^x$  bu 2 sini eşitlersek

$x^{(x^{^{\frac{2}{3}}})}=x^{^{\frac{2x}{3}}}$  


$x^{^{\frac{2}{3}}}=\dfrac{2x}{3}$  dolayısıyla

$x^{^{\frac{-1}{3}}}=\dfrac{2}{3}$

$\sqrt[3]{x}=\dfrac{3}{2}$

$x=\dfrac{27}{8}$ olmalı sanırım galiba.

Comments

Teşekkür ederim gayet ayrıntılı bir şekilde çözmüşsünüz :)

---

ben teşekkür ederim efendim.