$r$ yarıçaplı bir kürenin yüzey alanı

Question

3 boyutlu uzayda $M(x_0,y_0,z_0)$ merkezli, denklemi $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$ olan bir kürenin yüzey alanının $4\pi r^2$'ye eşit olduğunu ispatlayınız.

Comments

umarım çoklu değişkenli diferansiyelleri ben tam kavramadan kimse ellemez bu soruya:):)


ama sana bir başlangıç olsun diye

https://www.youtube.com/watch?v=MwGRSNmnaT4

Answer 1

aslında ben de çözebilirim

ilk olarak 2 boyutta (kartezyen koordınatta)

z eksenıne gore izdüşüm olarak x,y koordinatlarında kürenin çapından geçen en büyük çember düşünülür birde en küçüğü düşünülür en küçükten en büyüğe giderken $\triangle z$ lik sonsuz aralıklardaki çember çevreleri ile $\triangle z$ ler çarpılırsa ve bu toplam sembolüyle gösterilirse çözülür gibi.

$\Psi$    bu fonksiyon 0 yarı çaplı çemberden r yarıçaplı çembere kadar olan çemberlerin çevrelerini dizi şeklinde yazan bir fonksiyon olsun
notasyonu da şöyle olsun  $\Psi_n$   eğer ben $\Psi_r$ der isem r yarıçapındaki çemberin çevresini versin

$lim_{n\rightarrow \infty}2.\displaystyle\sum_{i=0}^{n} \Psi_n \triangle z$


2 ile çarptım çünki ben kürenin sadece alt yarımküresini hesapladım 2.yarım küreyide hesaba kattıgımızdan 2 ile çarpıyoruz.

dersek çözülür, çözümün başı burda kalsın en kısa zamanda tamamlarım ,hatam varsa düzeltirim.

Comments

son notasyonu da


$2.\displaystyle\int_{z_0}^{z_r}2\pi.r.dr=2.\pi.r^2\displaystyle|^{^{z_r}}_{_{z_0}}=2\pi.r^2$ buldum ben ama çok yaklaştım.

---

Duzlemdeki bir diskin alt ve ust yuzey alanini hesaplamaktan farki nedir bunun?

---

en genel gösterim oldugunun farkındayım ama psi ile çemberler tanımladım küçük ve git gide büyüyen çemberler üst üste koyulup küre oluyor ama neden yanlış çıktı onu anlamadım

---

de mi?              

---

Yarım kürenin iz düşümünü alınca daire elde edemeyişimizi şöyle ifade edebiliriz aslında.

Yarım küreyi yere koyarsak kürenin zemine yakın olan yerleri neredeyse dik olarak artarkan tepe noktasına doğru çıkıldıkça neredeyse yere paralel gitmeye başlar bu yüzden izdüşüm alanı yüzey alanından küçük çıkar.

Hatta şöyle de yapabiliriz .  $r$ yarıçaplı tabana sahip bir koni alalım(önceki örnekte düzgün artmadan bahsettiğim için koni aldım), koninin yanal alanını yarım kürenin yüzey alanına denk olarak düşünebiliriz.  Yanal alan ve taban alanlarını yazacak olursak yükseklik $0'a$ yaklaştıkça yanal alanın taban alanına yakınsadığını görürüz bu durumda $Yanal Alan \geq Taban Alanı$ genellemesini yapabiliriz. Şimdi $r$ yarıçaplı bir yarım kürenin içine yüksekliği de,taban yarıçapı da $r$ olan bir koni yerleştirelim . Tepe noktasına $A$, çember çevresinden herhangi bir noktaya da $B$ diyelim. $A$ ve $B$ noktaları arası eğrisel uzaklık doğrusal uzaklıktan büyük olacağı için kürenin de izdüşümü bulduğumuz eşitsizliğe hayli hayli uymalı. 

 Not:sanırım bahsettiğiniz üst üste çember koyma modellemesinin hesapta yanıltmasının sebebi ilk yazdığım madde . kürenin yarıçapı $r$ ise küreyi oluştururken kullandığımız çemberlerden yarıçapı $r$'ye yakınsak olanların sayısının yarıçapı $0$'a yakınsak olanlardan fazla olmalıdır

---

hatta şimdi aklıma geldi: aynı $r$ yarıçaplı yarım kürenin içinde $60$ derecelik bir açı alalım. $cos60 =1/2$ olduğu için $60$ derecenin olduğu noktanın üzerindeki çemberlerin yarıçapı $1/2$'den küçükken altındakiler büyüktür. yani kürenin yüzeyini oluşturan tüm çemberlerin $2/3$'ünün yarıçapı $1/2$'den büyükken kalanların küçük. bu da ortalama almamızı engelliyor.