Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

$\displaystyle\int\frac{x^2dx}{(xsinx+cosx)^2} $

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (180 puan) tarafından  | 1.2k kez görüntülendi

http://matkafasi.com/71773/%24-int-frac-x-2-20-x-sin-x-5-cos-x-2-dx%24-integrali-icin-yontemler

burada benzeri var ama bunu da çözen olmamış.

sizin soruya bakış açınız nasıl?

Biraz zor oldugundan cozdum bu soruyu. Benim sorumu da biri cozer artik, oyle umit ediyorum :)

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Genel cozumunu de yapabilecegimiz sekilde anlatiyorum: (Bazi kolaylastirlmalar yapilabilir). Ilk olarak$$ (x\cdot \sin x+\cos x) = \sqrt{x^2+1^2}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1^2}}\cdot \sin x+\frac{1}{\sqrt{x^2+1^2}}\cdot \cos x\right)$$$$= \sqrt{x^2+1}\cdot \cos\left(x-\theta\right)\;,$$ oyle ki  $\displaystyle \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ ve $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ ve $\tan \theta =x\Rightarrow \theta = \tan^{-1}\left(x\right)$ olur.


Bu durumda integral  $$ = \int \sec^2(x-\theta)\cdot \left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)dx$$ olur. $  (x-\theta) = u$ olsun, bu da bize $$\left(x-\tan^{-1}\left(x\right)\right)=u\;,$$ve $$ \left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)dx = du$$ olur. Bu durumda integralimiz $$\displaystyle \int \sec^2(u)du = \tan u +c= \tan\left(x-\tan^{-1}\left(x\right)\right)+c$$ olur ve bu da bize $$ \int \frac{x^2}{(x\cdot \sin x+\cos x)^2}dx = \frac{ \tan x-x}{1+x\cdot \tan x}+c = \frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}+c$$ esitligini verir. ($c$ sabit).

(25.5k puan) tarafından 

2 dik kenarı x ve 1 olan üçgenden mi çıkıyor herşey:)

insanin zoruna gidiyor diyorsun sanki:)

Fakat bu yontem icin en onemli kisim ilk esitlik. 

hocam bilmiyorum, ama beni çok rahatsız ediyor, bikere x'in üçgen içindeki değeri tehlikeli

alabileceği açı neden dar açı? daha kesin çözüm olabilirmi acaba:)

aynen hocam ilk eşitlik, bu arada elinize saglık

Çözüm için teşekkürler. Elinize sağlık. 

Foton, bir yorumunu gormemisin. Dar aci vs kullanilmadi cevapta. Ornegin $x$ negatif olsa alt kisima duseriz. Bu 1. ve 4. bolge olarak adlandirilan aralikta. Ilk denklem'de + yerine - koyarsak da diger bolgelere de gecebiliriz. 

Kisacasi +/- secimimiz bizi buraya surukledi. $x$'in negatifligini katmasak bile $2^2$ secenekten 4 bolgeye gecebiliriz.

Cok acik yazmadim ama bakinca anlasilir.

20,259 soru
21,785 cevap
73,457 yorum
2,338,448 kullanıcı