$\int \frac{x^2+20}{(x \sin x+5 \cos x)^2}dx$ integrali icin yontemler

6 beğenilme 0 beğenilmeme
101 kez görüntülendi

$$\int \frac{x^2+20}{(x \sin x+5 \cos x)^2}dx$$ integralini bulunuz.

18, Nisan, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

biraz ipucu veriniz:)

$\tan(\theta/5)$ olur mu? 

tanx/2 deki ispat gibi sanirim

Tabi neden bu donusumu yapmak gerekir, nasil bu donusumu secmemiz gerekir, bu da onemli. Aslinda bu donusum sonradan geliyor. Yani arada yapilan bir donusum.

Belki daha kolay bir yolu vardir.

hocam bu soruyu çözermisiniz hâla daha güzel bir çözüm üretemedim.

Bunun videosunu yapmayi planliyorum. O zaman cevabi da atarim buraya..

vidyoyu yapın çeviriym hocam:) 

tamamdir :)            

Anil burada bir soz vermissin. Bence sozunu tutmalisin.

cevirdim ben  yani izlerken cevirdim izledim ama atcam demedim zaten

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Paydadaki ifadeyi

 $\sqrt{x^2+25}$ ($\frac{x}{\sqrt{x^2+25}} $sinx+$\frac{5}{\sqrt{x^2+25}}$cosx)

 şeklinde yazalım. u açısının karşısı x komşusu 5 birim olan bir dik üçgen düşünürsek ifade;

$\sqrt{x^2+25}$cos(x-u) ifadesine eşit olur. 

x-u=t diyelim. u=arctan(x/5) olduğundan; $\frac{x^2+20}{x^2+25}$dx=dt olur. 

İntegral;

$\int{sec^2(t) dt}$= tant+c= tan(x-arctan(x/5))+c=$\frac{tanx-x/5}{1+tanx.(x/5)}$=$\frac{5sinx-xcosx}{5cosx+xsinx}$ olur. 


22, Nisan, 2016 Kara657 (180 puan) tarafından  cevaplandı

Cozumun icin tesekkurler.

Ben de ara adimlari ekledim, cunku $\arctan$ isin icine girince kafalar biraz karisiyor.

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu soruda benzerini cozmustuk:

Ilk olarak$$ (x\cdot \sin x+5\cos x) = \sqrt{x^2+5^2}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+5^2}}\cdot \sin x+\frac{5}{\sqrt{x^2+5^2}}\cdot \cos x\right)$$$$= \sqrt{x^2+5^2}\cdot \cos\left(x-\theta\right)\;,$$ oyle ki  $\displaystyle \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+5^2}}$ ve $\displaystyle \cos \theta = \frac{5}{\sqrt{x^2+5^2}}$ ve $\tan \theta =\frac x5\Rightarrow \theta = \tan^{-1}\left(\frac x5\right)$ olur.


Bu durumda integral  $$ = \int \sec^2(x-\theta)\cdot \left(\frac{x^2+20}{x^2+5^2}\right)dx$$ olur. $  (x-\theta) = u$ olsun, bu da bize $$\left(x-\tan^{-1}\left(\frac x5\right)\right)=u\;,$$ve $$ \left(\frac{x^2+20}{x^2+5^2}\right)dx = du$$ olur. Bu durumda integralimiz $$\displaystyle \int \sec^2(u)du = \tan u +c= \tan\left(x-\tan^{-1}\left(\frac x5\right)\right)+c$$ olur ve bu da bize $$ \int \frac{x^2+20}{(x\cdot \sin x+5\cos x)^2}dx = \frac{ \tan x-(x/5)}{1+(x/5)\cdot \tan x}+c = \frac{5\sin x-x\cos x}{5\cos x+x\sin x}+c$$ esitligini verir. ($c$ sabit).

Bu soru genellestirilebilir ve iki soru "bence" genellestirebilecegimiz cevaplari iceriyor.

22, Nisan, 2016 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
10, Ekim, 10 Sercan tarafından düzenlendi

genel çözümlerden birini öğrenmiş oldum teşekkürler hocam:)

Genellesmesini yapip soru olarak acabilirsin bence. 
...