Periodik olan ama esas periodu olmayan bir fonkisyon

Question

Esas periodu pozitif period araliklarinin minimumu olarak tanimlayalim. (Gercek tanimi bu mu bilmiyorum ama budur yani).

Ornegin:
$\sin x$ fonksiyonunun esas periodu $2\pi$.

Esas periodu olmayan fonksiyon ornegi:
sabit fonksiyonlar.

Sorum:
$\mathbb R$ uzerinde tanimli ve periodu olmayan sabit fonksiyonlar disinda bir fonksiyon var midir?

Comments

$f(x)=f(x+h)$ olunca $h$ sabitse esas perıyod oluyor desek basıtce?

---

$2\pi$ de olabilir, $4\pi$ de.. Hangisini sececez?

Answer 1

$\mathbb{R}$ üzerinde aşağıdaki denklik bağıntısını tanımlayalım.
\[ x\ E\ y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Q}\]
Şimdi her $E$-denklik sınıfından tek bir eleman seçerek bir $S \subseteq \mathbb{R}$ kümesi oluşturalım ve $f$ fonksiyonunu şu şekilde tanımlayalım.
\[ f(x)=[x]_E \cap S\]
Yani $f$ fonksiyonu her gerçel sayıyı, o sayının $E$-denklik sınıfından seçtiğimiz biricik elemana göndersin. Bu durumda $f$ fonksiyonunun sabit olmadığı ve her $x \in \mathbb{R}$ ve her $q \in \mathbb{Q}$ için $f(x)=f(x+q)$ olduğu kolayca görülebilir, ki bu da $f$ fonksiyonu periyodik olduğu halde minimal bir periyodu olmadığını (yani esas periyodu olmadığını) kanıtlar.

Comments

Buradaki fikirle $f(x)=\begin{cases}0\quad x\in\mathbb{Q}\\1\quad  x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$ böyle bir fonksiyon olur. Her pozitif rasyonel sayı bir periyottur.