Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
4 beğenilme 0 beğenilmeme
8.1k kez görüntülendi

$ax^2+bx+c=y$ parabolüne orijinden çizilen teğetler birbirine dik olduğuna göre $b^2-4ac=\Delta=-1$ olduğunu ispatlayınız.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından  | 8.1k kez görüntülendi

reel kök olduğunda parabole hiçbirşekilde teğet çizemiyoruz bu bir başlangıç :)

Cizemiyoruz derken orijinden cizilenler icin konusuyoruz degil mi yanlis anlama olmasin :)

çözerken çok keyif aldım, umarım okurken sende keyif alırsın:)

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

şimdi ilk olarak delta=-1 oldugundan reel köklerimiz yoktur yani kompleks köklerde bu eşitliği göstericem,

peki, böyle bir parabol grafiği için orjinden geçen 2tane teğet olmalıdır bunu geometrik olarak anlayabiliriz.

Ve dolayısıyla 2farklı noktada teğet olmaktadırlar


image

$n\neq k$ barizdir


$(ax^2+bx+c)'=2ax+b$


$\underline{k_.için}$

$2ak+b=\dfrac{ak^2+bk+c}{k}$ olur düzenlersek

$ak^2=c$ gelir

$\underline{n_.için}$

$2an+b=\dfrac{an^2+bn+c}{n}$

$an^2=c$ gelir

Bunlar cepte kalsın ben çözdüm biliyorum lazım olcak.


2noktadaki teğetler dik ise

$(2ak+b)(2an+b)=4a^2kn+2abk+2abn+b^2=-1$ olur

$ak^2=c$

$an^2=c$

eşitlersek

$k=\pm n$

$k\neq n$ den dolayı

$k=-n$ bulunur

$ak^2=c$

$an^2=c$

taraf tarafa çarparsak

$a^2n^2k^2=c^2$ kök alalım

$akn=\pm c$

şimdi bu da burda kalsın güzel bir işaret oyunu yapcaz



$(2ak+b)(2an+b)=4a^2kn+2abk+2abn+b^2=-1$ burada dikkat edilirse

$2abk=-2abn$ oldugundan


$4a^2kn+b^2=-1$

$\boxed{4a.(akn)+b^2=-1}$ yazarsak 

$akn=\pm c$ burada

işaret olarak

a ne olursa olsun yukarıdaki kutunun içinde yerine yazdığımızda (akn) yerine birdaha a ile çarpacagımızdan anın işareti etkilemiyor

k ve n ters işaret oldugundan

$akn=-c$ oldugu kesinleşir

$\boxed{4a.(akn)+b^2=-1}$ düzenlersek

$\boxed{\boxed{\boxed{-4a.c+b^2=-1}}}$ ispatlanır $\Box$

(7.9k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Denklemi direkt olarak $ax^2-c=0$ dan kökler çarpımı olan $kn=\frac{-c}{a}$ olarak yazıp işlemleri daha da kısaltabilirdik. Teşekkürler. 

doğru ama böyle daha yorumlu falan oldu ya , daha karızmatık oluyor:)

$\Delta=1$ sorusuna karizmatik bir cevabım var az yorumlu ama tak diye çıkıyor :)

o soruda ben bile kısa cevap yazdıysam tabikide tak diye çıkar:)

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$uv=-1$ olsun ve orijinden gecen dogrular da $y=ux$ ve $y=vx$ olsun. Bu durumda $s,t$ degerleri icin $$as^2+bs+c=us \;\;\;\text{ ve }\;\;\; at^2+bt+c=vt$$ ve $$2as+b=u \;\;\;\text{ ve }\;\;\; 2at+b=v$$ olur. Bu da bize $$as^2=at^2=c$$ oldugunu verir. Bu durumda, isaretler ters olacak sekilde, $$s=\pm t=\pm \sqrt{c/a}$$ olur. (Burada $c/a > 0$ olmali). Bu da bize $$-1=uv=(2\sqrt{ac}+b)(-2\sqrt{ac}+b)=b^2-4ac$$ oldugunu verir. ($c/a>0$ esitsizligi bu kosul saglanirken saglandigindan ek olarak boyle bir kosula gerek yok).

(25.4k puan) tarafından 
20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,049,385 kullanıcı