$A(ABC)=\frac{a.b.c}{4R}$ eşitliğinin her zaman geçerli olduğunu ispatlayınız.

Question

$ABC$ bir üçgen, $|AB|=c$, $|AC|=b$, $|BC|=a$ ve $R$, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı olmak üzere; $A(ABC)=\frac{a.b.c}{4R}$ eşitliğinin her zaman geçerli olduğunu ispatlayınız.

Answer 1

Sinüs alan bağıntısından $3.A(ABC)=\frac{a.b.sinC}{2}+\frac{a.c.sinB}{2}+\frac{b.c.sinA}{2}$ olur. Yine sinüs bağıntısından $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$ olduğundan $3.A(ABC)=\frac{a.b.c}{4R}+\frac{a.b.c}{4R}+\frac{a.b.c}{4R}$ şeklinde de yazabiliriz. Sadeleştirirsek $A(ABC)=\frac{a.b.c}{4R}$ eşitliğini elde ederiz.