Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
6 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

$$\int \frac{x^2+20}{(x \sin x+5 \cos x)^2}dx$$ integralini bulunuz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (25.4k puan) tarafından  | 1.2k kez görüntülendi

biraz ipucu veriniz:)

$\tan(\theta/5)$ olur mu? 

tanx/2 deki ispat gibi sanirim

Tabi neden bu donusumu yapmak gerekir, nasil bu donusumu secmemiz gerekir, bu da onemli. Aslinda bu donusum sonradan geliyor. Yani arada yapilan bir donusum.

Belki daha kolay bir yolu vardir.

hocam bu soruyu çözermisiniz hâla daha güzel bir çözüm üretemedim.

Bunun videosunu yapmayi planliyorum. O zaman cevabi da atarim buraya..

vidyoyu yapın çeviriym hocam:) 

tamamdir :)            

Anil burada bir soz vermissin. Bence sozunu tutmalisin.

cevirdim ben  yani izlerken cevirdim izledim ama atcam demedim zaten

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu soruda benzerini cozmustuk:

Ilk olarak$$ (x\cdot \sin x+5\cos x) = \sqrt{x^2+5^2}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+5^2}}\cdot \sin x+\frac{5}{\sqrt{x^2+5^2}}\cdot \cos x\right)$$$$= \sqrt{x^2+5^2}\cdot \cos\left(x-\theta\right)\;,$$ oyle ki  $\displaystyle \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+5^2}}$ ve $\displaystyle \cos \theta = \frac{5}{\sqrt{x^2+5^2}}$ ve $\tan \theta =\frac x5\Rightarrow \theta = \tan^{-1}\left(\frac x5\right)$ olur.


Bu durumda integral  $$ = \int \sec^2(x-\theta)\cdot \left(\frac{x^2+20}{x^2+5^2}\right)dx$$ olur. $  (x-\theta) = u$ olsun, bu da bize $$\left(x-\tan^{-1}\left(\frac x5\right)\right)=u\;,$$ve $$ \left(\frac{x^2+20}{x^2+5^2}\right)dx = du$$ olur. Bu durumda integralimiz $$\displaystyle \int \sec^2(u)du = \tan u +c= \tan\left(x-\tan^{-1}\left(\frac x5\right)\right)+c$$ olur ve bu da bize $$ \int \frac{x^2+20}{(x\cdot \sin x+5\cos x)^2}dx = \frac{ \tan x-(x/5)}{1+(x/5)\cdot \tan x}+c = \frac{5\sin x-x\cos x}{5\cos x+x\sin x}+c$$ esitligini verir. ($c$ sabit).

Bu soru genellestirilebilir ve iki soru "bence" genellestirebilecegimiz cevaplari iceriyor.

(25.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

genel çözümlerden birini öğrenmiş oldum teşekkürler hocam:)

Genellesmesini yapip soru olarak acabilirsin bence. 
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Paydadaki ifadeyi

 $\sqrt{x^2+25}$ ($\frac{x}{\sqrt{x^2+25}} $sinx+$\frac{5}{\sqrt{x^2+25}}$cosx)

 şeklinde yazalım. u açısının karşısı x komşusu 5 birim olan bir dik üçgen düşünürsek ifade;

$\sqrt{x^2+25}$cos(x-u) ifadesine eşit olur. 

x-u=t diyelim. u=arctan(x/5) olduğundan; $\frac{x^2+20}{x^2+25}$dx=dt olur. 

İntegral;

$\int{sec^2(t) dt}$= tant+c= tan(x-arctan(x/5))+c=$\frac{tanx-x/5}{1+tanx.(x/5)}$=$\frac{5sinx-xcosx}{5cosx+xsinx}$ olur. 


(180 puan) tarafından 

Cozumun icin tesekkurler.

Ben de ara adimlari ekledim, cunku $\arctan$ isin icine girince kafalar biraz karisiyor.

20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
2,004,399 kullanıcı