Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin ispatı

Question

$(sinx)'=cosx$ ve $(cosx)'=-sinx$ eşitlikleri nereden gelir? Normal tanımdan gelir mi yoksa başka bir yolu var mı?

Comments

normal tanımdan kastın türevin limit tanımı mı?

---

Aynen. Senenin başında denemiştim çıkmamıştı sanırım. Bir daha deneyeyim bir şey bulurum belki.

---

sinx alttaki gibi,cosx de aynı mantık oyuzden tanx i ispatlayalım diğer cevabımdada arcsinx i  ispatlayayım

Answer 1

"Mekanik" bir cevap.

$x=\cos t,\ y=\sin t,\quad t\in\mathbb{R}$ (Vektörel olarak $\vec{r}=\cos t\;\vec{i}+\sin t\;\vec{j}$) birim çemberin saatin tersi (pozitif) yönde birim hızda bir parametrizasyonudur. 

Öyleyse teğet vektörü birim uzunlukta, çembere teğet (ve pozitif yöne dönük) olmalıdır. 

Öyleyse (tamamen geometri ile)

$\vec{r}'(t)=(-\sin t)\;\vec{i}+\cos t\;\vec{j}$ olmalıdır.

Burada da  $\sin'=\cos,\ \cos'=-\sin$ olması gerektiği çıkar.

Answer 2

sinx için limit tanımını ben yapayım

$lim_{h \rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}=lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinx.cosh+sinh.cosx-sinx}{h}=lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinx(cosh-1)}{h}+lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinh}{h}.lim_{h \rightarrow 0}.cosx$

http://matkafasi.com/68189/%24-lim_-mu-rightarrow-0-dfrac-sin-mu-mu-1%24-ispatlayiniz
bu linktende faydalanarak

$\underbrace{lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinx(cosh-1)}{h}}_{sinx.0}+\underbrace{lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinh}{h}}_1.\underbrace{lim_{h \rightarrow 0}.cosx}_{cosx}=cosx$  ispatlanır

Comments

video - sin x turev
video - cos x turev

video - sinx/x -> 1 ispat
video - lim (cos x -1)/x

---

tanx eklıyorum hocam ve arcsin ve arc tan yarım saate eklerım umarım:)

---

Evet dediğim gibi tanımdan geliyormuş tabi sene başında L'hopital falan olmadığı için yarıda kalmışım :) Sırada logaritmikler ve üsteller var senin Taylor serisini bir araştırayım da sorarım :)

---

Onlara gerek yok. Zaten bolme, zincir kurallarindan geliyor. Hatta $\sin x$ bile yeterli. $\cos x=\sin(\pi/2 - x)$ olarak yazarak da turevini elde edebiliriz.

---

Ters trigonometrik fonksiyonların ispatını biliyorum ama yine de sitenin bir köşesinde bulunsun :)

---

Tersleri de  $f^{-1}$'in turevinden bulmaya calisin, $f$'in turevini bilmek yeterli.

---

Hoca ispatın bir kısmını $f^{-1}$ in türevinden, kalanını üçgenden yapmıştı. Bakalım Anılda farklı bir ispat var mı?

---

aynen üçgenle yapmıştım bende ınternette yoktu yarım saat ugraşmıştım:)

---

Ters logaritmik mi, ters trigonometrik mi :)

---

Ters mi logaritmik? Gözden kaçmış düzelttim hocam :)

---

Hoca iki eşitlik daha göstermişti ispatlarıyla. Unuttum ama 4 ay falan geçti sanırım sorayım salı günü falan onları da atarım inşallah.

---

tan(x/2)=t  yöntemi var onuda ispatlayayım.

Answer 3

http://matkafasi.com/68189/%24-lim_-mu-rightarrow-0-dfrac-sin-mu-mu-1%24-ispatlayiniz

tanx için ise

$ \lim_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{tan\theta}{\theta} =\dfrac{\overbrace{\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta}{\theta}}^1}{\underbrace{\lim_{\theta \rightarrow 0}cos\theta}_1}=1$


$tan(x+y)=\frac{tanx+tany}{1-tanx.tany}$ bilindigine göre



$ (tanx)'=\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{tan(x+h)-tanx}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{tanx+tanh-tanx+tanh.tan^2x}{1-tanh.tanx}}{h}$



$(tanx)'=\underbrace{\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{tanh}{h}}_1.\underbrace{\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{1}{1-tanx.tanh}}_1.\underbrace{\lim_{h \rightarrow 0}(1+tan^2x)}_{1+tan^2x}$

$(tanx)'=1+tan^2x$ ispatlanır.

Comments

Kaldı ki bölümün türevinden de bulunuyor. Teşekkürler.

---

ispat değil bunlar arkadaşlar sinx/x 1 olduğunu bilmeyrn birisi için çöp bunlar  normal tanımdan yapmak lazım

Answer 4

$(arcsinx)'$ ispatı

biraz geometri gerektirir.

$arcsinx=y$ dersek

$y'=\frac{dy}{dx}$ bulucağız..


$siny=x$

ve demin ispatladıgımız türevden de faydalanarak;


$\frac{dy}{dx}.cosy=1$


$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cosy}$ 


$siny=x$ demiştik dik üçgende gösterirsek 

$cosy=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1}$  olur dolayısıyla

$\frac{dy}{dx}=y'=(arcsinx)'=\frac{1}{cosy}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$    ispatlanır $\Box$

Answer 5

$(arctanx)'=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$  oldugunu ispatlayalım.



$arctanx=y$ ise


$tany=x$ dir

$(tany)'=\frac{dx}{dy}=(1+tan^2y)$ oldugu bılınıyor çarpma işlemine göre ters çevirelim



$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+tan^2y}$  (tany=x) oldugundan

$(arctan)'=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}$    ispatlanır $\Box$ 

Comments

Anıl hızına yetişilmiyor maaşallah :) Teşekkürler

Answer 6

Özellikle integrasyonda çok işlevsen olan $tan(\frac{x}{2})=t$  dönüşümünü ispatlayayım.


$x < 90$  olan bir x açımız olsun
yani
$2a < 90$






$\frac{x}{2}=a$ diye düşünüp

$tana=t$ dersek

pisagoru çözersek

$a^2=t^2+(1-a)^2$
--------------------------------
$a=\frac{1+t^2}{2}$

$1-a=\frac{1-t^2}{2}$ gelirler
--------------------------------

$tan(\frac{x}{2})=tana=t$ iken

$cos2a=cosx=\frac{1-k}{k}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$sin2a=sinx=\frac{t}{k}=\frac{2t}{1+t^2}$ gelirler .