$D$ tek türlü çarpanlara ayrılabilir bölge ve $f(x)\in D[x]$ olsun.

Question

$f(x)$ in $D[x]$ de indirgenmez olması için gerek ve yeter koşul herhangi bir $c\in D$ için $f(x-c)$  nin $D[x]$ de indirgenmez olmasıdır. Nasıl ispatlayabilirim?

Answer 1

$g(x)|f(x)\Leftrightarrow g(x-c)|f(x-c)$ 

Comments

Yani indirgenebilir olduğunu kabul ederek görmek oldukça kolay(mış)! $D$ nin UFD olmasıda burada devreye giriyor. Teşekkür ettim.

---

Bunun için $D$ nin $UFD$ olmasına gerek var mı?

---

Doğan hocam; İndirgenmezlik kriterlerinin pek çoğu halkanın UFD alınmasıyla ispatlanıyor. Bu sebeple soruda kullanacağız diye düşünüyorum. İspatın yukarıdaki gibi yürüyeceğini de düşünmüyorum. UFD olmayan halkalarda çalışmak zor gibi gözüktü.  $\Bbb{Z}[\sqrt-5][x]$ halkası üzerinde de soruya ters düşen örnek var gibi!

---

Tek çarpanlama olunca indirgenemez, asal demek. Yani göstermek gereken $f(x)\Leftrightarrow f(x-c)$  asal. $g(x)h(x)\in (f(x-c))$ olsun. Bu durumda $f(x-c)$ polinomu $g(x)$ ya da $h(x)$ polinomularindan birisini böler. Yani $f(x)$ polinomu $g(x+c)$ ya da $h(x+c)$ polinomunu böler. Yani birisi asalsa digeri de asaldir.

Answer 2

$ R $ herhangi bir değişmeli birim elemanlı, sıfır bölensiz halka (tamlık bölgesi) olsun. $R[x]$, ($ X=\{x\} $ altkümesi üzerinde) serbest  bir $R$ cebirdir. ($R$ cebir tanımı, cisimler üzerine cebir tanımında, "vektör uzayı" yerine "modül" yazarak elde edilir.) Yani $S$ herhangi bir $R$ cebiri ve $s_0\in S$ için $f(x)=s_0$ olacak şekilde tek bir $R$ cebir homomorfizması vardır.

(http://en.wikipedia.org/wiki/Free_algebra de var, bilimsel referans değil ama ulaşması kolay)

Şimdi; (bir $ c\in R $ için) $S=R[x],\ s_0=(x-c)$ olsun. Bunun sonucu olarak, $f:R[x]\rightarrow R[x]$ bir $R$-cebir (özel olarak halka) homomorfizmasıdır. Bu homomorfizma için $f(P(x))=P(x-c)$ olacağı aşikardır. $c$ yi $-c$ ile değiştirerek, aynı şekilde, $f$ nin tersi olan homomorfizma elde edilir.  Öyleyse $f$ bir $R$-cebir, dolayısıyla bir halka izomorfizmasıdır.

Sonuç:$R[x]\rightarrow R[x],\ \ P(x)\mapsto P(x-c)$ (sabitleri sabit bırakan) bir (halka) izomorfizmasıdır. Şimdi $P(x)$ asal veya indirgenemez ise (asal olmak ve indirgenemez olmak bir cebirsel invaryant olduğu için) $P(x-c)=f(P(x))$ in de asal veya indirgenemez olacağı aşikardır.

Comments

Burada, $R$ nın sıfır bölensiz olmasına dahi gerek olmadığını sanıyorum ama varsın olsun.

---

Teşekkür ederim.