$R$ bir TAC olsun. $p\in R$ indirgenmez ve $p\mid ab$ olsun. Eğer $a=0$ ise $p\mid a$ ve
eğer $b=0$ ise $p\mid b$ olur ki ispat biter.
Eğer $a\in U(R)$ (yani tersinir ise)$p\mid b$ ve eğer $b\in U(R)$ ise $p\mid a$ elde edilir ki
yine ispat biter.
Şimdi $a,b$'nin hem sıfırdan farklı olduklarını hemde tersinir olmadıklarını
kabul edelim. $ab=pc$ olacak şekilde $c\in R$ vardır. $d=pc=ab$ $a,b$ tersinir olmadığından
$d$ tersinir olmaz.
Eğer $c$ tersinir ise $d$ indirgenmez olup $a$ veya $b$ tersinir olur ki; bu bir çelişkidir.
O halde $c$ tersinir değildir. $R$ TAC olduğundan $c=c_{1}\ldots c_{n}$, $a=a_{1}\ldots a_{m}$
ve $b=b_{1}\ldots b_{r}$ olacak şekilde $c_{1},\ldots, c_{n}, a_{1},\ldots, a_{m},b_{1},\ldots, b_{r}$
indirgenmezleri vardır.
$d=pc_{1}c_{2}\ldots c_{n}=a_{1}a_{2}\ldots a_{m}b_{1}\ldots b_{r}$
şeklinde $d$'nin iki farklı yazılışı elde edilir. $R$ TAC olduğundan $p$; $a_{1},\ldots, a_{m},b_{1},\ldots,b_{r}$
indirgenmez elemanlarının biriyle yandaştır. Eğer $a_{1},a_{2},\ldots, a_{m}$ $p$'nin yandaşı ise
$p\mid a$ ve $b_{1},\ldots, b_{r}$ $p$'nin yandaşı ise $p\mid b$ elde edilir. Yani; $p$ asaldır.