$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ eşitliği üzerine

Question

$n \in \mathbb{Z}$ olmak üzere $e=\lim\limits_{n \to \infty}\sum \limits _{k=0}^n\frac{1}{k!}=\lim\limits_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n$ eşitliği nasıl sağlanıyor? Açmaya falan kalktım ama oradan birşey çıkaramadım yine de merak ettim benim seviyemde bir açıklama var mı yoksa anlayabileceğimin çok mu üzerinde? Dipnot: 12. sınıf öğrencisiyim.

Comments

o kadar zor değil şimdi yazayım elimden geldiği kadar.

---

$e=e$ bu. Ikisininde ayri ayri $e$ oldugunu gostermelisin. 

Birincisi $e^x$'in seri acilimindaki $x=1$ hali, ikincisi icin $x$ icin yazip $\ln$ vs bulursun. Sitede yontemleri de mevcut.

---

genede ekledim hem e nerden çıkmış onu anlattım sanırım sitede ve çogu yerde e nerden gelıyor çok bilinmiyor.

---

$e$ nerden geliyor biliyordum fakat yukarıdaki eşitliklerin nereden geldiğini bilmiyordum sağolun hocam.

Answer 1

İlk olarak e sayısı diye bir sayı var bu sayının bulunuşu ile daha öncede birşeyler söylemiştim, işte bernulinin bulduğu sonraları euler sayısı dendiği ,17. yy de çok garip bir bileşik faiz hesabından çıktığı falan gibi.

hesap şöyle 
ben bir tefeciyim ve sana 1lira veriyorum ve  1 sene için sana %100 faiz uyguluyorum bana 1 sene sonunda 1lira vericeksin ve faizi olan 1 lira daha vericeksin yani 2 lira


6 ay+6 ay yapalım

bana geldin 1lira istedin ben sana dedimki 6 ay için sana %50 faizle vereyim tamam anlaştık
6 ay bitti paran bitti bana 1+0,5=1,5 lira borcun var bu borcu ödemek için benden 1,5 lira borç alıyorsun(gene %50 faizle) ve tüm yılın sonunda bana toplam 2,25 lira borcun oluyor


3ay+3ay+3ay+3ay yapalım

1lira istedin 3ay için %25 faizle 3ay sonra geldin 1,25 lira borcun var ama paran bıttı tekrar 1,25 istiyorsun %25 failze 1,25+1,25.$\frac{1}{4}$=1,5625 lira borcun var %25 üzerinden tekrar borç istiyorsun ve bana 1,5625+1,5625.$\frac{1}{4}$=1,953125 borcun oluyor son 3 ay için tekrar
1,953125 borç istiyorsun %25 üzerinden tüm yıl sonu bana borcun 1,953125+1,953125.$\frac{1}{4}$=2,44140625

böyle devam edersen sonsuza yaklaşmıyor e sayısı diye bilinen 

2,7182818284590 gibi birşeye yaklaşıyor

formülüze ediyorlar ve  $lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e$

eşitliği çıkıyor bundan da exp(x) yani

$f(n)=lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n=e^x$ fonksiyonu çıkıyor

bu cepte dursun ,

buna ek olarak bu  $e^x$ fonksiyonunun her noktadaki eğimi fonksiyonun değerine eşit yani

$e^x$ nekadar türevini alırsan al hep  $e^x$  geliyor 

$e^x$  fonksiyonunun 2. tanımıda bu zaten

"türevi kendisine eşit olan yeğane fonksiyon   $e^x$   dir "

şimdi gelelim soruya bu sorudaki eşitliği kanıtlamak için belirli fonksiyonların polinom yaklaşımlarını bilmemiz gerekiyor mesela $e^x$  gibi $sinx$ gibi fonksiyonlar belirli mertebeden sonra hep kendisine eşit olur yani periyot eder bundan dolayı biz bunları sonsuza giden polinomlara eşitleyebiliriz.

$e^x=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+.......$ gibi

$x=0$ yapalım

$e^0=1=a+b.0+0+0+0+...$       $\longrightarrow$   $a=1$ imiş

$e^x=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+.......$  türevini alalım

$x=0$ yapalım

$e^x=b+2cx+3dx^2+4ex^3+5fx^4+.......$ 

$x=0$  yapalım

$e^0=1=b$           $\longrightarrow$        $b=1$ imiş

$e^x=b+2cx+3dx^2+4ex^3+5fx^4+.......$  türevini alalım

$e^x=2c+6dx+12ex^2+20fx^3+.......$   

$x=0$ yapalım

$e^0=1=2c$  $\longrightarrow$        $c=1/2$

böyle devam edersen   

$e=1/6$

$f=1/24$

$g=1/120$

yani exp(x) şöyle bir seri oluyor

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+........$

x=1 için

$e=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+.........$ olucağı bariz

soruya dönelim sağdaki tanım neydi?

$lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e$ idi

peki soldaki seriyi ne bulduk? gene e bulduk ozaman eşitliğimiz ispatlanır $\Box$

Comments

Hocam sağolun tekrardan. Bu da benim bir sonraki sorum olan $(e^x)'=e^x$ eşitliği neden sağlanır sorumu da açıklar. Bir taşla iki kuş :) Eğik atışla atılan taşın ilk kuşla esnek çarpışmasının ardından ikinci kuşa aktardığı momentumunu da bulduk mu tamamdır bu iş :)

---

Emeğine sağlık Anıl.

---

Çok sağolun hocam.