Asal Sayılar

Question

$p^q-q^p=p+q$ eşitliği sağlanacak biçimde tüm $(p,q)$ asal sayılarını bulunuz.

Comments

$$p^q -q^p \equiv -q \mod p$$ ve $$p+q \equiv q \mod p.$$ Demek ki $$p \mid (q -(-q))=2q$$ olmali. Buradan $p=2$ olmali ya da $p=q$ olmali gelir. $p=q$ olursa $2p=0$ olur, yani olmaz.

$p=2$ olursa da $$2^q-q^2=q+2$$ olur.

---

Hocam emeğinize ve bilginize sağlık. Çok teşekkür ederim.

---

Ne demek. Anladin mi, kalanini cozdun mu peki?

---

Aaa, pardon hocam, soru sahibi ile karistirdim bir an.

---

Önemli değil. Sayın @Sercan hocam, soru sahibinin cevabı takip edemediği anlaşılıyor.Size zahmet bu çözümünüzü cevap kısmına yazabilirseniz çok güzel bir çözüm kazanmış oluruz.

---

Olur hocam, tabii ki de.

Answer 1

$$p^q -q^p \equiv -q \mod p$$ ve $$p+q \equiv q \mod p.$$ Demek ki $$p \mid (q -(-q))=2q$$ olmali. Buradan $p=2$ olmali ya da $p=q$ olmali gelir. $p=q$ olursa $2p=0$ olur, yani olmaz.

$p=2$ olursa da $$2^q-q^2=q+2$$ olur.

Ayrica $2^x-x^2-x-2$ de $x\ge0$ icin azalan bir fonksiyon. Bunu gormek icin turev kullanabiliriz. Fakat ussellerin (belirli bir yerden sonra polinomlardan buyuk olacagi da bilindik).

Neyse bu bize diyor ki, bunun bir adet cozumu olabilir. Cunku cozumden sonra da surekli azalacagindan negatfie iner.

Bu cozumun $5$ oldugunu gormek zor degil, gormek de matematiksel sayilir bence makul ise tabi. Goremezsek teker teker sai deniyecegiz artik. Bunu cozmek o kadar da kolay degil. (Bilen varsa yorular acik).

Bu da bize tek cozumun $(2,5)$ oldugunu soyler.

Answer 2

$q^2+q+2=2^q$ olmalı. $q>5$ için $2^q > q^2+q+2$ olduğunu tümevarımla kanıtlayalım. $q=6$ için doğrudur. $q\to q$ için doğru olsun. $q \to q+1$ için doğruluğunu inceleyelim. $2^q > q^2+q+2 \to 2^{q+1} > 2q^2+2q+4 = (q+1)^2+(q+1)+2$ olduğundan tümevarım kabülü doğrudur. $q>5$ için eşitlik sağlanamaz. $q=5,3,2$ için cevabın $(2,5)$ olduğu görülür.