Asal sayılar ve tam kare

Question

Bir soruda $p$ ve $q$ asal sayılar olmak üzere $$q=1\pm\sqrt{p^3-5p^2-8p-2}$$ $$q=1\pm\sqrt{(p+1)(p^2-6p-2)}$$ eşitliğine ulaştım. Soruda $p+q$ nun en küçük değeri soruluyor. Buna göre  $\sqrt{p^3-5p^2-8p-2}$ ifadesini tam kare yapan $p$  asalını nasıl bulabilirim?

Comments

p, 4k+3 formunda olmalı.

---

$d = \text{obeb}(p+1, p^2 - 6p -2)$ değerini Euclid algoritması ile bulunuz. Hatam yoksa $d=1$ veya $d=5$ olabiliyor.

$d=1$ durumunda $p+1=a^2$, $p^2 - 6p -2=b^2$ olmalıdır. Bu kısmın incelenmesi biraz daha kolay olabilir.

$d=5$ durumunda $p+1=5a^2$, $p^2 - 6p -2=5b^2$ olmalıdır. Bu kısım incelenir. Burası biraz daha zorlu olabilir. wolfram ile bu formatta olan bir çözüm $a=2$ için $p=19$, $q=69$ geliyor. Fakat $69$ asal değildir. Denklemin asal çözümü olmayabilir.

(Fikir vermesi açısından yazdım, işlemleri sonuna kadar yapmadım. Yöntem iyi sonuç verebilir de vermeyebilir de)

---

Hocam $d=1$ için $p=9$ buluyorum. O zaman asal sayılarda çözüm yok mu diyeceğiz?

---

Hocam sağ taraftaki $-1$ sayısı $1$ olmalıydı. Kökün önünde de $\pm$ olmalıydı. Düzelttim.

---

Genel olay aslında ()daha geniş bir küme ama) bir eliptik eğrinin integral noktalarına bakmak.
Asal kontrolleri yapmak bazı durumlarda işe yarayabilir.
Bunun yanı sıra bunlar üzerine çeşitli yöntemler de var.

http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

Code:

Qx<x> := PolynomialRing(Rationals());
E := EllipticCurve(x^3-5*x^2-8*x-2);
IntegralPoints(E);

Result:

x=-1, y=0
x=19, y=70

 

---

@ozlemakman, eğer $q=1+\sqrt{(p+1)(p^2-6p+1)}$ olabiliyorsa, tek çözüm $(p,q)=(19,71)$ asal sıralı ikilisi oluyor.

$d=1$ durumunda $p+1=a^2$, $p^2 - 6p -2=b^2$ olmalıdır demiştik. Bu durumda $(p-3)^2 -b^2 = 11$ olup $(p+b-3)(p-b-3)=11$ denklemi elde edilir.

$p+b-3 = 11$

$p-b-3 = 1$

denklemlerinden $p=9$, $b=5$ olur. Fakat $p=9$ asal olmadığı için buradan çözüm gelmiyor.

Mevcut çözüm $d=5$ durumunda $p+1=5a^2$, $p^2 - 6p -2=5b^2$ iken gelecektir. Bu denklemi kağıt kalemle çözmek için elemanter bir yol var mı bilmiyorum. Sercan hocamın belirttiği gibi eliptik eğriler üzerinde rasyonel koordinatlı noktalar isimli akademik konuya hakim olmak gerekebilir. Bilgisayarın bulduğu çözümü basitçe şöyle bulabiliriz:

$p=5a^2-1$ de $a=1$ için $p=4$ asal değil, $a=2$ için $p=19$ asaldır ve $5b^2 = 19^2 -6\cdot 19 -2 = 245$, $b=7$ çözümü vardır. Bunları kullanarak $q= 1 + \sqrt{(20)\cdot (5\cdot 7^2)} = 71$ elde ediliyor. Bu şekilde $a$ ya değer vererek yaptığımız deneme-yanılma yöntemi ile başka çözüm olup olmadığını kanıtlayamadığımızı hatırlatalım. Yine de $p=5a^2 - 1$ ile belli bir aralıktaki, örneğin $1000$ den küçük asalları hızlıca kontrol etme şansı bulabiliyoruz.

---

Sorunun orijinal şeklini de yazarsanız, belki başka bir yol da bulunabilir.

---

Soru $p$ ve $q$ asal sayılar olmak  üzere  $q^2-2q=p^3-5p^2-8p-3$  ise $p+q$ en az kaçtır?  şeklinde.

---

Basit bir soru değil. Soru nerede sorulmuş acaba?

Denklemi sağlayan bir çözüm bulmadan, bir cevap vermek yeterli olmaz.

---

@ozlemakman $q^2-2q=p^3-5p^2-8p-3$ denklemini sağlayan asal $(p,q)$ çiftleri için $p+q$ toplamının en küçük değerini kağıt kalemle bulabiliyoruz. Yukarıda yaptığımız işlemler, en küçük $p$ değerini veriyor ve buna karşılık bulunan $q$ değeri de en küçüktür. Çünkü $p$ büyüdükçe, $q$ nun da büyüdüğünü gördük. $(p+q)_\min = 19 + 71 = 90$ bulunur. Problem çözüldü.

---

FindInstance[{q^2 - 2 q == p^3 - 5 p^2 - 8 p - 3, p > 0, q > 0}, {p, q}, Integers]

{p -> 19, q -> 71}

Asal olmadan once tamsayi olmasi lazim. $\sqrt{p^3-5p^2-8p-2}$ sayisini tamsayi yapan $10.000.000$ kucuk tek tamsayi $p=19$.

IntegerQ /@ (Sqrt[#^3 - 5 #^2 - 8 # - 2] & /@ Range@10000000) // Boole // Total

 

Answer 1

$\color{red}{\textbf{Problem:}}$ $p$ ve $q$ asal sayılar olmak üzere $q^2-2q=p^3-5p^2-8p-3$ ise $p+q$ en az kaçtır?

 

$\color{blue}{\textbf{ Çözüm Öncesi Motivasyonu:}}$ Problem bana $2019$ İstanbul Bilim Olimpiyatları'nın Ortaokul Matematik 7-8 kategorisinde sorulmuş olan "$7n^2 = m^3 + 15m$ denkleminin tam sayılarda kaç çözümü vardır?" sorusunu hatırlattı. Muhtemelen, tüm zamanların en zor ortaokul matematik olimpiyat sorusudur. Bir düzeye kadar çözümünü video olarak sunmuştum. Bu düzey, $\color{green} {\text{Eliptik Türdeki Diophantine Denklemlerinin Çözüm Yöntemleri}}$ dir. Bu aşama özel bir uzmanlık alanına giriyor, benim bilgimin dışındadır. Benzer bir soru ise $2019$ lise aşamasında da vardır ve onun çözümü çok daha kolaydır. Yukarıdaki soru ile İSBO soruları birbirine benzemektedir. Bir soruyu çözdüğümüz zaman, benzer türde bir soruda ne yapabileceğimiz ile ilgili daha fazla fikrimiz oluyor. Yani, soru deneyimi önemlidir. Çözüm motivasyonumuzu buradan alıyoruz.

 

 

 $\color{red}{\textbf{Çözüm:}}$ $(q-1)^2 = p^3-5p^2-8p-2 = (p+1)(p^2 - 6p - 2)$ biçiminde çarpanlara ayıralım. Öte taraftan Euclid algoritması ile,

$$d = (p+1, p^2 - 6p - 2) = (p+1, p^2 - 6p - 2 - (p+1)(p-7)) = (p+1,5) = 1 \text{ veya } 5$$

elde edilir.

 $\color{red}\bullet$ $d=1$ durumunda $p+1$ ve $p^2 - 6p - 2$ aralarında asal olduğu için çarpımları bir tam kareye eşitse, bunların her birinin tam kare olması gerekir. $p+1=a^2$, $p^2 - 6p - 2 = b^2$ olacak şekilde aralarında asal $a, b$ pozitif tam sayıları bulunmalıdır.  Ne var ki $(p-3)^2 - b^2 = 11$ denklemi iki kare farkından çarpanlara ayrılırsa tek çözüm $p=9$, $b=5$ bulunur ve $p=9$ asal sayı değildir. Bu durumda çözüm yoktur. Diğer duruma geçelim.

 $\color{red}\bullet$ $d=5$ $p+1$ ve $p^2 - 6p - 2$ sayılarının çarpımının bir tam kare olması için $p+1=5a^2$, $p^2 - 6p - 2 = 5b^2$ olacak şekilde aralarında asal $a, b$ pozitif tam sayıları bulunmalıdır. $p=5a^2-1$ üzerinden devam edelim. En küçük $p$ değerini araştıralım.

•  $a=1$ için $p= 4$ olup asal sayı değildir. Aslında $a$ nın çift sayı olması gerektiğini görüyoruz.
• $a=2$ için $p= 19$ olup asal sayıdır. Bu halde $b=7$ elde edilir. $(q-1)^2 = (p+1)(p^2 - 6p - 2) = 5a^2 \cdot 5b^2$ denkleminde yazarsak $(q-1)^2 = 5\cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 7^2 = 5^2\cdot 2^2 \cdot 7^2 = 70^2$ olur. $q-1=70$ den $q=71$ asal sayısı bulunur. $p+q = 19 + 71 = 90$ bulunur.
• $a=4$ için $p=79$ olup asaldır. $a\geq 4$ durumlarında  çözüm varsa bile $q>p\geq 79$ olduğundan $p+q>159>90$ olur.

Böylece en küçük toplam değeri $(p+q)_\min = 90$ elde edilir.

 

Comments

Çok güzel. Teşekkürler lokman gökçe.

---

Rica ederim değerli hocam, saygılar.