Maksimal ve Minimal Elemanlar

Question

$(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\subseteq)$ posetinde $$\mathcal{A}= \left \{ \left( -\frac{1}{n},\sqrt[n]{n} \right) \Large{|} \normalsize n\in \mathbb{N}\right\}$$ kümesinin maksimallerini $(\text{M}(\mathcal{A})=?)$ ve minimallerini $(\text{m}(\mathcal{A})=?)$ bulunuz.

Answer 1

$$\mathcal{A}=\left\{\left(-\dfrac{1}{n},\sqrt[n]{n}\right) \Big{|} n\in\mathbb{N}\right\}$$

$$=$$

$$\left\{\left(-1,1\right),\left(-\dfrac{1}{2},\sqrt{2}\right),\left(-\dfrac{1}{3},\sqrt{3}\right),\left(-\dfrac{1}{4},\sqrt{2}\right),\left(-\dfrac{1}{5},\sqrt[5]{5}\right), \ldots \right\}$$

Çizim yapabilsek açıklaması daha kolay olabilirdi. Şöyle izah etmeye çalışalım. Aralıkların sol ucuna bakılırsa sol uçtaki sayıların $n$ büyüdükçe $0$ sayısına artarak yaklaştığını görmek zor olmasa gerek. Aralıkların sağ ucu için benzer şeyi söyleyemiyoruz. Şöyle ki biraz dikkat edildiğinde aralıkların sağ ucundaki sayıların önce arttığı sonra da azalarak $1$ sayısına yaklaştığını kolayca görebiliriz. Tüm bunları göz önünde bulundurduğumuzda $\mathcal{A}$ ailesinin maksimalleri ve minimalleri sırasıyla

$$M(\mathcal{A})=\left\{(-1,1),\left(-\dfrac{1}{2},\sqrt{2}\right),\left(-\dfrac{1}{3},\sqrt{3}\right)\right\}$$  ve $$m(\mathcal{A})=\left\{(-1,1)\right\}$$ olacaktır.