Question

$a,b,c$ bir üçgenin açıları olmak üzere $\sin a+ \sin b+\sin c \le \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ eşitsizliğini gösteriniz

Comments

Acaba a,b,c değerleri üçgenin iç açı ölçüleri mi? dış açı ölçüleri mi?

Bilindiği gibi açı ile açı ölçüsü çok farklı iki geometrik kavramdır.

Answer 1

$f(x)$ fonksiyonu sürekli ve aşağı bükeyse (Jensen Eşitsizliği)

$$f\left(\frac{a+b+c}3\right)\geq\frac13(f(a)+f(b)+f(c))$$ olur.

Buradan $3\sin60 \geq \sin a+\sin b+\sin c$ buluruz.

Bu da istenen eşitsizliktir.

Comments

Teşekkürlee güzel çözüm için

Answer 2

Sizde sag olun Yavuz Hocam...

Answer 3

$a,b,c$ bir üçgenin iç açıları ise $\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c$ de (toplamı 180 derece olduğundan) bir üçgenin iç açılarıdır.

${\sin a+\sin b =2\sin\left(\frac{a+b}{2} \right) \cos\left(  \frac{a-b}{2}\right)=\left(\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)+\sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \right)\cos\left(  \frac{a-b}{2}\right) } $ dir. 

Bir üçgende $a\neq b$ ise, ($\cos\left(  \frac{a-b}{2}\right)<1  $ olduğu için )

${\sin a+\sin b+\sin c<\sin\left(\frac{a+b}{2} \right) +\sin\left(\frac{a+b}{2} \right) +\sin c}$ olacağından $a\neq b$ iken $\sin a+\sin b+\sin c$ toplamı maksimum olamaz. O halde maksimum olan üçgende $a=b$ olmalıdır. Aynı şekilde $b=c$ olur. Gerisi kolay.

Comments

"Kolay" sözcüğü biraz fazla iyimser. Bu fonksiyonun bir maksimumu ulaştığı, lise düzeyi üstünde bir matematik gerektiriyor (Sürekli fonksiyonların $\mathbb{R}^n$ in kapalı ve sınırlı kümelerinde maksimum ve minimuma eriştiği ile ilgili teoreme gereksinim var).

---

Teşekürler Sn hocam