Question

$\mathbb{Q} (\sqrt{2})\cong \mathbb{Q} (i\sqrt{2})?$

Comments

Bunlar vektör uzayı olarak izomorftur (üreteci üretece taşırsanız) ancak cisim olarak izomorf olmazlar. İzomorf olduğunu kabul edip çelişkiye düşebilirsiniz. Katsayılar rasyonel gelmez.

---

Cevabiniz icin tesekkurler. Asagidaki iki cisim genislemelerinin yapilarinin boyle oldugunu biliyorum

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt2 |a,b \in\mathbb{Q}\}$

$\mathbb{Q}(i)=\{a+b i|a,b \in\mathbb{Q}\}$

Peki asagidakinin hangisi dogru?

$\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)=\{a+b\sqrt2i|a,b \in\mathbb{Q}\}$

$\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)=\{a+b\sqrt2+ci|a,b,c \in\mathbb{Q}\}$

---

Ustte yazdığınız dogru. Acil değilse birkaç gün sonra konuyu açıklasam olur mu?

---

$\Bbb{Q}(i\sqrt{2})$; rasyonel sayılar cismine $i\sqrt{2}$ eklenmesiyle elde edilen cisim. Bu elemanı  kök kabul eden rasyonel katsayılı indirgenmez monik polinom $p(x)=x^2+2$.(Eisenstein kriterinden indirgenmezliğini görebilirsin). $\Bbb{Q}[x]/<p(x)>=\{f(x)+<p(x)>\mid f(x)\in \Bbb{Q}[x]\}=\{\bar{a} + \bar{b}\bar{x}+<p(x)> \mid a, b\in \Bbb{Q}\}$ şeklindedir.(Bölüm algoritmasını uyguladığımızda; $f(x)=p(x)q(x)+r(x)$ ve $r(x)=0$ veya $der r(x)< der p(x)=2$).

Böylece $\Bbb{Q}(i\sqrt{2})=\{a+bi\sqrt{2} \mid a, b\in \Bbb{Q}\}$ şeklindedir.