Bunu ayni tarz bir sorudaki cevabimdan kopyala yapistir yapiyorum:
Genel olarak mantigi basit. Polinomlar icin:
$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)(x^2+a_1x+b_1)\cdots(x^2+a_mx+b_m)$ olarak carpanlarina ayrilsin ve $x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n$ olsun.
$(x^2+a_1x+b_1)\cdots(x^2+a_mx+b_m)$ her zaman pozitiftir. Cunku hic koku yok ve surekli. Bir tane pozitif deger aldigini gostersek yeterli. Bunun icin sonsuza giderken limiti sonsuz diyebiliriz ya da $b_i$'lerin pozitif olmasi gerektigini bilerek $f(0)$ degerinin pozitif oldugunu soyleyebiliriz.
Demek ki isaret icin son kismi atarak $g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$ polinomunu inceleyebiliriz.
Burada $a>0$ secelim. Eger $a<0$ olursa tum isaretler yerdegistirir. Bu nedenle sadece $a>0$ icin yapsak yeterli.
Mantik su: Eger $t<x_1$ demek ki $(t-x_i)$'lerin hepsi negatif olacak demek ki isaret $(-1)^n$ olacak. Eger $t>x_n$ ise $(t-x_i)$'lerin hepsi pozitif olacak isaret de pozitif olacak.
Kisacasi saymamiz gereken $t$ sayisinin sol tarafinda (kat sayisi ile birlikte) kac kok var. Eger $t$'nin solunda $u$ tane kok varsa isaret $(-1)^u$ olacak.
Bu durumda eger tek uslu bir kok uzerinden atlarsak $(-1)^{u+tek}=-(-1)^u$ olacagindan isaret degistirecek ve cift uslu bir kokun uzerinden atlarsak $(-1)^{u+cift}=(-1)^u$ olacagindan isaret degismeyecek.
Eger polinom bolmesi olsaydi yine solundaki kokleri sayacaktik. Daha da genellestirilebilir. Fakat mantigini anlamak icin bu kadari yeterli diye dusunuyorum.