Kenarortay eşitliklerinin her zaman sağlanacağını ispatlayınız.

Question

$|AD|=V_a$,

$|BE|=V_b$,

$|CF|=V_c$ olmak üzere;

$2.V_a^2=b^2+c^2-\frac{a^2}{2}$,

$2.V_b^2=a^2+c^2-\frac{b^2}{2}$,

$2.V_c^2=a^2+b^2-\frac{c^2}{2}$ eşitliklerinin her zaman sağlanacağını ispatlayınız.

Comments

Farkındayım son $4$ sorunun $3$'ünde resim kullandım fakat elimden geldiğince özenli yazmaya ve çizmeye çalışıyorum.

Answer 1

$AH \bot BC$ olacak şekilde bir $H$ noktası belirleyelim $|AH|=h$ ve $|HD|=x$ olsun. O halde pisagor bağıntılarından 

$\frac{a^2}{4}-ax+x^2+h^2=c^2$

$\frac{a^2}{4}+ax+x^2+h^2=b^2$

$x^2+h^2=V_a^2$ olur. İlk iki denklemi toplayıp üçüncü denklemin iki katını bu toplamdan çıkarırsak $2V_a^2=b^2+c^2-\frac{a^2}{2}$ olur. Bunun benzerini $V_b$ ve $V_c$ üzerinde de yapabileceğimizden 

$2.V_a^2=b^2+c^2-\frac{a^2}{2}$,

$2.V_b^2=a^2+c^2-\frac{b^2}{2}$,

$2.V_c^2=a^2+b^2-\frac{c^2}{2}$ eşitlikleri her zaman sağlanır.