Barizdirki, çokgen köşegen sayısı arttıkça çembere benzemekte ve dolayısıyla alanı çember alanına eşit olmalı.
İspat için;
1 $n$ kenarlı bir düzgün çokgen çizilir.
2 Merkezden köşelere uzunluk $r$ seçilir ve köşelerden geçen daire alanı hesaplanmaya başlanılır.
Çokgende $n$ üçgen olacağından tek bir üçgenin alanından $n$ tane toplamak yeterli ve $n$ sonsuza giderken bu alanın daire alanına yakınsayacagı da aşikâr.
Çokgenin alanı=Üçgen sayısı $\times$ Üçgen alanı
Yani;
Çokgen Alanı: $n\cdot (rcos\alpha)(rsin\alpha)$
Ve tüm merkez açı $2\pi$ olduğundan ve $n$ üçgene pay edildiğinden;
$\dfrac{2\pi}{n}=2\alpha$ gelir
Çokgen Alanı: $n\cdot \left(rcos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)\left(rsin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)=nr^2\left(cos\left(\frac{\pi}{n}\right)sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)=\dfrac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)$
Limit alalım;
$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)$ Belirsizlik olduğundan ;
$\boxed{\boxed{\lim\limits_{a\to 0}=\dfrac{sin(ta)}{ta}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{sin\left(\frac{t}{n}\right)}{\frac tn}=1}}$
Bilgisini kullanarak;
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)=\lim\limits_{n\to \infty}\pi r^2\underbrace{\dfrac{\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)}{\frac{2\pi}{n}}}_{1}=\pi r^2$ ispatlanır .$\Box$