Thue Önsavı: a bir tamsayı, p bir asal sayı ve (a,p)=1 olmak üzere,
ax≡y mod p
denkleminin 0<|x0|<√p ve 0<|y0|<√p koşulunu sağlayan bir (x0,y0) çözümü vardır.
Gelelim sorunun çözümüne. p≡1 (mod 4) olduğunu varsayalım. Bu durumda −1, p asalının kuadratik bir kalanı olmalı. Demek ki a2≡−1 (mod p) koşulunu sağlayan bir a tamsayısı var. Bu denklemden dolayı da (a,p)=1.
Bu durumda Thue Önsavı'na göre,
ax≡y (mod p)
denkleminin 0<|x0|<√p ve 0<|y0|<√p koşulunu sağlayan bir (x0,y0) çözümü vardır. Buradan,
−x02≡a2x02≡(ax0)2≡y02 (mod p)
ifadesi elde edilir ki bu da x02+y02≡0 (mod p) yani bir k tamsayısı için x02+y02=kp olduğunu söyler. Ama aynı zamanda 0<|x0|<√p ve 0<|y0|<√p yani 0<x02+y02<2p olduğundan k=1 olur ki bu da x02+y02=p demek.