İspatlayalım Bernoulli eşitsizligi $(1+x)^n>1+nx$

Question

$n>1$  ve tam , $x\neq0$   ve  $1+x>0$   için daima   $(1+x)^n>1+nx$    eşitsizliği neden câridir(doğrudur,kesindir).

Comments

Bu soruyu ben sormustum sanki, cevabi da vardi.

---

İkişerkere hem burda hem "gugıl"da aradım bulamadım.

---

Ben de arayip bulamama olasiligima karsi hic aramadim :)

---

Sormamis da olabilirim. Sunu buldum bi, soruyla alakali: link

---

güzelmiş hemen ekledim favorilere:) buarada matematikle ilgili alternatıf sorusuna bakmalısınız bkz

Answer 1

$x+1>0$ ve $x\neq 0$ olsun.

$n=2$ için $$(1+x)^2=1+2x+x^2>1+2x$$

$n=k$ için doğru olduğunu varsayıp $n=k+1$ için ispatlayalım.

$(1+x)^{k+1}=(1+x)^k\cdot(1+x)>(1+kx)\cdot(1+x)=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x$

Comments

teşekkürler hocam.Peki bu yaptığınız gibi matematiksel indüksiyondan başka metodlada çözebilirmiyiz. sadece bir fikir verirseniz ben uğraşırım.

---

binom katsayiari.   

Answer 2

$1+x=y$ diyelim. Bu durumda $$(1+x)^n= 1+(y^n-1)$$ olur. Eger $y \ge 1$ ise (pozitiflik) $$y^n-1=(y-1)(y^{n-1}+\cdots+y+1)\ge n(y-1)=nx$$ olur. Eger $y<1$ ise (negatiflik) $$y^n-1=(y-1)(y^{n-1}+\cdots+y+1)\ge n(y-1)=nx$$ olur.

Comments

mantıklı ve guzel tesekkurler.

Answer 3

Tümevarım ile ispatlayalim:

n=2 için (1 + x)² > 1 + 2x

1 + 2x + x² > 1 + 2x olduğu görülür.

n=k için:

(1 + x)^k > 1 + k x oldugunu kabul edelim.

n=k+1 için (1 + x)^(k + 1) > 1 + (k + 1) x olduğunu ispat edelim.

(1+x)^(k) (1+x)>1+k.x+x

(1+x)^(k)>1+kx olduğunu kabul etmiştik.

(1+x)^(k)*(1+x)>1+kx*(1+x)

(1+x)^(k)*(1+x)>1+kx+x+kx^(2)

(1+x)^(k)*(1+x) ifadesi 1+kx+x+kx^(2) den büyükse 1+kx+x den de büyüktür.İspat tamamlanmış olur.

Comments

Yukarda tümevarımla ispat verilmiş zaten.