Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
338 kez görüntülendi
$\sqrt {2}$ sayısının gerçel olduğunu ispatlayiniz.
Lisans Matematik kategorisinde (240 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 338 kez görüntülendi

4 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
http://matkafasi.com/6332/%24-mathbb-r-%24-nin-tamligi 

bu soruya bakilabilir. 

$S=\{x \in \mathbb Q| x^2<2\}$ kumesinin supremumu $\sqrt{2}$ ve  kumenin supremumu $\mathbb{R}$'de olmali.
(24.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

$x$ , $R$ nin elemanı olmasın :-)? 

farketmez. ikisinde de limit ayni.

bunada ispat adayı çıkardım ama , oldukça uzun :-)))

yazdığınız cevaba ulaşıyorum

Hocam böyle bir durumda $S$'nin supremumu yoktur diyemez miyiz? Ya da daha genel olarak bir kümenin hangi durumlarda supremumu yoktur?
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Öncelikle gerçel sayının ne olduğunu hatırlayalım.

$$X=\{\langle a_n\rangle\mid \langle a_n\rangle, \,\ \mathbb{Q} \text{'da Cauchy dizisi}\}$$ olmak üzere

$$\beta=\{(\langle a_n\rangle,\langle b_n\rangle)\mid \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(a_n-b_n)=0\}\subseteq X^2$$

bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıflarının her birine bir gerçel sayı, denklik sınıflarının (gerçel sayıların) oluşturduğu oran (bölüm) kümesine de gerçel sayılar kümesi denir. Buna göre genel kuralı $$x_1=2, \,\ x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)$$ olan $\langle x_n\rangle$ dizisi, $\mathbb{Q}$'da bir Cauchy dizisidir. Bu elemanın (dizinin) denklik sınıfı $$\sqrt{2}$$ ile gösterilir. O halde $\sqrt{2}$ bir gerçel sayıdır.

(10.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Bu bağintiyi kullanarak ve  rasyonel terimli bir dizi ile nasıl    irrasyonel   bir sayı elde ediyoruz  ve bu sayının  gerçel sayilar içinde nasıl var ettik ?yani varlığını kanıtladık , hocam çok kitabi bir ispat yaklaşımı yazdığınız çözümü detaylı  açarsaniz   sevinirim :-)

Daha ne kadar açık yazabilirim sayın hocam

doğru bölüm kümesi cümlesini atlamışım :-))


0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir de söyle bir kanıt verelim. $\mathbb{R}$ cisminde her Cauchy dizisinin limiti olduğundan ara değer teoremi doğrudur, yani eğer sürekli bir fonksiyon bir noktada pozitif başka bir noktada negatif oluyorsa bir sıfırı vardır. $f(x)=x^2-2$ fonksiyonu sürekli olduğundan bu fonksiyonun pozitif bir reel sayıda sıfır olması gerekir, bu da aradığımız $\sqrt{2}$ sayısıdır.

Bu kanıtta yukarıda verilen kanıtlardaki teknik detaylar ilk cümleye sıkıştırılmıştır.

(1.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

$R$  halkası yerine , cisim dememizde bir sakınca olmaz değil mi ?

varlığına dair güzel bir kanıt
Salih hocam, fonksiyonun sürekli olduğunu da göstermemiz gerekmez mi? Çok mu bariz?

polinom fonksiyonlar süreklidir

Tabi cisim demek daha gerekir. Düzeltiyorum. Polinomların sürekli fonksiyonlar tanımladığını kanıtlamak oldukça kolay olduuğu için bahsetmedim.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bidiğimiz üzere $\sqrt{2}=1,144215...$ diye devam eder. Şimdi her terimi reel sayı olan şu diziye bakalım:

$a_1=1$

$a_2=1,1$

$a_3=1,14$

$a_4=1,144$

diye devam etsin. Bu dizinin her sonlu adımı bir sayıya biraz daha yaklaşır.Yani yakınsaktır.

http://matkafasi.com/6332/%24-mathbb-r-%24-nin-tamligi  ye göre her terimi reel olduğundan bu limit sayı reel sayıdır. Bu da aynen $\sqrt{2}$ ye eşittir.

(685 puan) tarafından 

yakınsadığın dizinin kuralını eklersen güzel olur :-)

Her dizinin kuralı olmak zorunda mıdır?

evet, guzel bir soru? sendeyiz RAMANUJAN1729

Olmalıymış Sercan hocam , cevap geldi :-)
18,636 soru
20,881 cevap
68,158 yorum
19,539 kullanıcı