Reel sayı aralıklarının boyu(uzunluğu) ile ilgili soru.

Question

Reel sayı ekseninde $A(a)$ ve $B(b)$ gibi iki nokta verilsin. 

1) $\{x: a\leq x\leq b, x\in R\}=[a,b]$ olarak tanımlanan kapalı aralığın boyunun  $|AB|=|[AB]|=|b-a|$ olduğunu biliyoruz. 

2)Acaba, $\{x: a< x\leq b, x\in R\}=(a,b]$ olarak tanımlanan yarı açık aralığın boyu da yine,

$|]AB]|=|b-a|$ midir? 

3)Acaba, $\{x: a\leq x < b, x\in R\}=[a,b)$ olarak tanımlanan yarı açık aralığın boyu da yine,

$|[AB[|=|b-a|$ midir?  Son olarak ,

4) $\{x: a< x< b, x\in R\}=(a,b)$ olarak tanımlanan açık aralığın boyu da $|]AB[|=|b-a|$ mıdır? Bunlar arasında bir uzunluk farkı varsa neden vardır? yoksa neden yoktur?

Comments

Ikinci kume $[a,b]-\{a\}$ ve ucuncu kume $[a,b]-\{b\}$.

Bu arada $a\leq b$ ifadesi de koyulmali. Diger turlu mutlak degerli uzunluk hatali olur bos kumenin boyu farkli gelir.

Tabi boyu nasil tanimladigimiz da onemli. Hangi boy uzerine konusuyoruz. 

---

Su soru da sorulabilir: $[a,b] -([a,b] \cap \mathbb Q)$ kumesinin boyu ne olur?

ya da daha genel olarak $C \subset [a,b] \cap \mathbb Q$ olmak uzere $[a,b]-C$ kumesinin boyu ne olabilir?

---

Sercan bey bildiğiniz gibi yukarıda verilen $A;B$ noktaları arasındaki uzaklık yazdığım gibi $d(a,b)=|a-b|=|AB|$ biçiminde tanımlanıyor. Bu tanım da $a\leq b$ olması gerekmiyor. Eğer $a\leq b$ ise o zaman $|AB| =b-a olacaktır. Boydan kastım bu iki nokta arasındaki mesafe-uzaklıktır. Uzaklığın yukarıdaki tanımdan başka bir tanımı var mı?

---

Benim temelde sormak istediğim şey; bir nokta eksilince aralık boyunda herhangi bir değişme olur mu? Olursa neden? olmazsa neden? 

---

Fakat sizin yazdiginiz iki nokta arsindaki uzaklik. $2$ ile $3$ arasindaki uzaklik $|2-3|=1$ 0olur. Fakat sizin soruda yazdiginiz $(a,b]$ gibi araliklarin boyu. Bu ikisi farkli?

Eger tanim boyle ise bos kumeyi cesitli sekillerde yazariz ve her biri icin farkli boylar gelir.

---

Örneğin $(2,3],(2,3),[2,3),[2,3]$ aralıklarının boyları aynı mı? Bunlardan $(2,3]$ nin boyunu nasıl buluruz?

---

Bir suru boy/olcum secenegi var. Ben cok hakim degilim. Fakat sizin verdiginiz boy Lebesgue olcumune denk geliyor. Burada da hepsi esit oluyor.