$x^{3}+2x^{2}-2x+3=0$ denkleminin köklerinden biri reeldir. Bu denklemin reel olmayan kökleri $x_{1},x_{2}$ ise, $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ toplami kactir?

Question

Diger kökleri $-1+2i,-1-2i$ olarak buldum.

Comments

Karmaşık köklerin $\frac{1\pm3i}{2}$ olması gerekirdi.

---

Evet hocam tekrar baktim tesekkurler

Answer 1

$x^3+1+2.(x^2-x+1)=0$ ise $(x+1).(x^2-x+1)+2.(x^2-x+1)=0$ gelir.Buradan $(x+3).(x^2-x+1)=0$ gelir.İlk çarpan reel köktür.Sağdaki parabolün kökleri ise karmasiktir.Denklemin.kökler toplama ve carpimindan yararlanirsak.

$x_1+x_2=1$ ve $x_1.x_2=1$ ise ilk denklemin karesi alinirsa ve ikinci denklem.-2 ile carpilip toplanirsa 

$x_1^2+x_2^2=-1$ gelir.

Answer 2

Verilen denklemin bir kökü $x=-3$ dir. O zaman $x^3+2x^2-2x+3=(x+3)(x^2-x+1)= 0$ biçiminde yazılırsa reel olmayan köklerin $x^2-x+1=0$ dan geleceği açıktır. Bu denklemin köklerinin kareleri toplamı $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=(\frac{-b}{a})^2-2\frac{c}{a}=1-2.1=-1$  olur.